Cálculo Exemplos

$G (y) = \frac{{(y - 2)}^{5}}{{(y^{2} + 4 y)}^{9}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ é $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , em que $f (y) = {(y - 2)}^{5}$ e $g (y) = {(y^{2} + 4 y)}^{9}$ .

$\frac{{(y^{2} + 4 y)}^{9} \frac{d}{d y} [{(y - 2)}^{5}] - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{9}]}{{({(y^{2} + 4 y)}^{9})}^{2}}$

Etapa 2

Multiplique os expoentes em ${({(y^{2} + 4 y)}^{9})}^{2}$ .

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Etapa 2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(y^{2} + 4 y)}^{9} \frac{d}{d y} [{(y - 2)}^{5}] - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{9}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{9 \cdot 2}}$

Etapa 2.2

Multiplique $9$ por $2$ .

$\frac{{(y^{2} + 4 y)}^{9} \frac{d}{d y} [{(y - 2)}^{5}] - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{9}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{5}$ e $g (y) = y - 2$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $y - 2$ .

$\frac{{(y^{2} + 4 y)}^{9} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d y} [y - 2]) - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{9}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{{(y^{2} + 4 y)}^{9} (5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d y} [y - 2]) - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{9}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y - 2$ .

$\frac{{(y^{2} + 4 y)}^{9} (5 {(y - 2)}^{4} \frac{d}{d y} [y - 2]) - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{9}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Mova $5$ para a esquerda de ${(y^{2} + 4 y)}^{9}$ .

$\frac{5 \cdot {(y^{2} + 4 y)}^{9} {(y - 2)}^{4} \frac{d}{d y} [y - 2] - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{9}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

Etapa 4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - 2$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ .

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{9} {(y - 2)}^{4} (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]) - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{9}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{9} {(y - 2)}^{4} (1 + \frac{d}{d y} [- 2]) - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{9}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

Etapa 4.4

Como $- 2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 2$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{9} {(y - 2)}^{4} (1 + 0) - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{9}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

Etapa 4.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.5.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{9} {(y - 2)}^{4} \cdot 1 - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{9}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

Etapa 4.5.2

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{9} {(y - 2)}^{4} - {(y - 2)}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 4 y)}^{9}]}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{9}$ e $g (y) = y^{2} + 4 y$ .

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Etapa 5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y^{2} + 4 y$ .

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{9} {(y - 2)}^{4} - {(y - 2)}^{5} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{9}] \frac{d}{d y} [y^{2} + 4 y])}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 9$ .

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{9} {(y - 2)}^{4} - {(y - 2)}^{5} (9 {u_{2}}^{8} \frac{d}{d y} [y^{2} + 4 y])}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

Etapa 5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y^{2} + 4 y$ .

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{9} {(y - 2)}^{4} - {(y - 2)}^{5} (9 {(y^{2} + 4 y)}^{8} \frac{d}{d y} [y^{2} + 4 y])}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

Etapa 6

Diferencie.

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Etapa 6.1

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{9} {(y - 2)}^{4} - 9 {(y - 2)}^{5} ({(y^{2} + 4 y)}^{8} \frac{d}{d y} [y^{2} + 4 y])}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

Etapa 6.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{2} + 4 y$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 y]$ .

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{9} {(y - 2)}^{4} - 9 {(y - 2)}^{5} ({(y^{2} + 4 y)}^{8} (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 y]))}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

Etapa 6.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{9} {(y - 2)}^{4} - 9 {(y - 2)}^{5} ({(y^{2} + 4 y)}^{8} (2 y + \frac{d}{d y} [4 y]))}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

Etapa 6.4

Como $4$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $4 y$ em relação a $y$ é $4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{9} {(y - 2)}^{4} - 9 {(y - 2)}^{5} ({(y^{2} + 4 y)}^{8} (2 y + 4 \frac{d}{d y} [y]))}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

Etapa 6.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{9} {(y - 2)}^{4} - 9 {(y - 2)}^{5} ({(y^{2} + 4 y)}^{8} (2 y + 4 \cdot 1))}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

Etapa 6.6

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{5 {(y^{2} + 4 y)}^{9} {(y - 2)}^{4} - 9 {(y - 2)}^{5} ({(y^{2} + 4 y)}^{8} (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.1

Fatore ${(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4}$ de $5 {(y^{2} + 4 y)}^{9} {(y - 2)}^{4} - 9 {(y - 2)}^{5} ({(y^{2} + 4 y)}^{8} (2 y + 4))$ .

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Etapa 7.1.1.1

Fatore ${(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4}$ de $5 {(y^{2} + 4 y)}^{9} {(y - 2)}^{4}$ .

$\frac{{(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 (y^{2} + 4 y)) - 9 {(y - 2)}^{5} ({(y^{2} + 4 y)}^{8} (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

Etapa 7.1.1.2

Fatore ${(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4}$ de $- 9 {(y - 2)}^{5} ({(y^{2} + 4 y)}^{8} (2 y + 4))$ .

$\frac{{(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 (y^{2} + 4 y)) + {(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} (- 9 (y - 2) (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

Etapa 7.1.1.3

Fatore ${(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4}$ de ${(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 (y^{2} + 4 y)) + {(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} (- 9 (y - 2) (2 y + 4))$ .

$\frac{{(y^{2} + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 (y^{2} + 4 y) - 9 (y - 2) (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

Etapa 7.1.2

Fatore $y$ de $y^{2} + 4 y$ .

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Etapa 7.1.2.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{{(y \cdot y + 4 y)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 (y^{2} + 4 y) - 9 (y - 2) (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

Etapa 7.1.2.2

Fatore $y$ de $4 y$ .

$\frac{{(y \cdot y + y \cdot 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 (y^{2} + 4 y) - 9 (y - 2) (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

Etapa 7.1.2.3

Fatore $y$ de $y \cdot y + y \cdot 4$ .

$\frac{{(y (y + 4))}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 (y^{2} + 4 y) - 9 (y - 2) (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

Etapa 7.1.3

Aplique a regra do produto a $y (y + 4)$ .

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 (y^{2} + 4 y) - 9 (y - 2) (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

Etapa 7.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 5 (4 y) - 9 (y - 2) (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

Etapa 7.1.5

Multiplique $4$ por $5$ .

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 9 (y - 2) (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

Etapa 7.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y + (- 9 y - 9 \cdot - 2) (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

Etapa 7.1.7

Multiplique $- 9$ por $- 2$ .

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y + (- 9 y + 18) (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

Etapa 7.1.8

Expanda $(- 9 y + 18) (2 y + 4)$ usando o método FOIL.

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Etapa 7.1.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 9 y (2 y + 4) + 18 (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

Etapa 7.1.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 9 y (2 y) - 9 y \cdot 4 + 18 (2 y + 4))}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

Etapa 7.1.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 9 y (2 y) - 9 y \cdot 4 + 18 (2 y) + 18 \cdot 4)}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

Etapa 7.1.9

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 7.1.9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1.9.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 9 \cdot 2 y \cdot y - 9 y \cdot 4 + 18 (2 y) + 18 \cdot 4)}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

Etapa 7.1.9.1.2

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 7.1.9.1.2.1

Mova $y$ .

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 9 \cdot 2 (y \cdot y) - 9 y \cdot 4 + 18 (2 y) + 18 \cdot 4)}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

Etapa 7.1.9.1.2.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 9 \cdot 2 y^{2} - 9 y \cdot 4 + 18 (2 y) + 18 \cdot 4)}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

Etapa 7.1.9.1.3

Multiplique $- 9$ por $2$ .

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 18 y^{2} - 9 y \cdot 4 + 18 (2 y) + 18 \cdot 4)}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

Etapa 7.1.9.1.4

Multiplique $4$ por $- 9$ .

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 18 y^{2} - 36 y + 18 (2 y) + 18 \cdot 4)}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

Etapa 7.1.9.1.5

Multiplique $2$ por $18$ .

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 18 y^{2} - 36 y + 36 y + 18 \cdot 4)}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

Etapa 7.1.9.1.6

Multiplique $18$ por $4$ .

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 18 y^{2} - 36 y + 36 y + 72)}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

Etapa 7.1.9.2

Some $- 36 y$ e $36 y$ .

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 18 y^{2} + 0 + 72)}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

Etapa 7.1.9.3

Some $- 18 y^{2}$ e $0$ .

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (5 y^{2} + 20 y - 18 y^{2} + 72)}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

Etapa 7.1.10

Subtraia $18 y^{2}$ de $5 y^{2}$ .

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (- 13 y^{2} + 20 y + 72)}{{(y^{2} + 4 y)}^{18}}$

Etapa 7.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.2.1

Fatore $y$ de $y^{2} + 4 y$ .

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Etapa 7.2.1.1

Fatore $y$ de $y^{2}$ .

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (- 13 y^{2} + 20 y + 72)}{{(y \cdot y + 4 y)}^{18}}$

Etapa 7.2.1.2

Fatore $y$ de $4 y$ .

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (- 13 y^{2} + 20 y + 72)}{{(y \cdot y + y \cdot 4)}^{18}}$

Etapa 7.2.1.3

Fatore $y$ de $y \cdot y + y \cdot 4$ .

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (- 13 y^{2} + 20 y + 72)}{{(y (y + 4))}^{18}}$

Etapa 7.2.2

Aplique a regra do produto a $y (y + 4)$ .

$\frac{y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (- 13 y^{2} + 20 y + 72)}{y^{18} {(y + 4)}^{18}}$

Etapa 7.3

Cancele o fator comum de $y^{8}$ e $y^{18}$ .

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Etapa 7.3.1

Fatore $y^{8}$ de $y^{8} {(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (- 13 y^{2} + 20 y + 72)$ .

$\frac{y^{8} ({(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (- 13 y^{2} + 20 y + 72))}{y^{18} {(y + 4)}^{18}}$

Etapa 7.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.3.2.1

Fatore $y^{8}$ de $y^{18} {(y + 4)}^{18}$ .

$\frac{y^{8} ({(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (- 13 y^{2} + 20 y + 72))}{y^{8} (y^{10} {(y + 4)}^{18})}$

Etapa 7.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{8} ({(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (- 13 y^{2} + 20 y + 72))}{y^{8} (y^{10} {(y + 4)}^{18})}$

Etapa 7.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{{(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (- 13 y^{2} + 20 y + 72)}{y^{10} {(y + 4)}^{18}}$

Etapa 7.4

Cancele o fator comum de ${(y + 4)}^{8}$ e ${(y + 4)}^{18}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Fatore ${(y + 4)}^{8}$ de ${(y + 4)}^{8} {(y - 2)}^{4} (- 13 y^{2} + 20 y + 72)$ .

$\frac{{(y + 4)}^{8} ({(y - 2)}^{4} (- 13 y^{2} + 20 y + 72))}{y^{10} {(y + 4)}^{18}}$

Etapa 7.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.2.1

Fatore ${(y + 4)}^{8}$ de $y^{10} {(y + 4)}^{18}$ .

$\frac{{(y + 4)}^{8} ({(y - 2)}^{4} (- 13 y^{2} + 20 y + 72))}{{(y + 4)}^{8} (y^{10} {(y + 4)}^{10})}$

Etapa 7.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{{(y + 4)}^{8} ({(y - 2)}^{4} (- 13 y^{2} + 20 y + 72))}{{(y + 4)}^{8} (y^{10} {(y + 4)}^{10})}$

Etapa 7.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{{(y - 2)}^{4} (- 13 y^{2} + 20 y + 72)}{y^{10} {(y + 4)}^{10}}$

Etapa 7.5

Fatore $- 1$ de $- 13 y^{2}$ .

$\frac{{(y - 2)}^{4} (- (13 y^{2}) + 20 y + 72)}{y^{10} {(y + 4)}^{10}}$

Etapa 7.6

Fatore $- 1$ de $20 y$ .

$\frac{{(y - 2)}^{4} (- (13 y^{2}) - (- 20 y) + 72)}{y^{10} {(y + 4)}^{10}}$

Etapa 7.7

Fatore $- 1$ de $- (13 y^{2}) - (- 20 y)$ .

$\frac{{(y - 2)}^{4} (- (13 y^{2} - 20 y) + 72)}{y^{10} {(y + 4)}^{10}}$

Etapa 7.8

Reescreva $72$ como $- 1 (- 72)$ .

$\frac{{(y - 2)}^{4} (- (13 y^{2} - 20 y) - 1 (- 72))}{y^{10} {(y + 4)}^{10}}$

Etapa 7.9

Fatore $- 1$ de $- (13 y^{2} - 20 y) - 1 (- 72)$ .

$\frac{{(y - 2)}^{4} (- (13 y^{2} - 20 y - 72))}{y^{10} {(y + 4)}^{10}}$

Etapa 7.10

Reescreva $- (13 y^{2} - 20 y - 72)$ como $- 1 (13 y^{2} - 20 y - 72)$ .

$\frac{{(y - 2)}^{4} (- 1 (13 y^{2} - 20 y - 72))}{y^{10} {(y + 4)}^{10}}$

Etapa 7.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{{(y - 2)}^{4} (13 y^{2} - 20 y - 72)}{y^{10} {(y + 4)}^{10}}$