Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 \sin (x^{2}) - 2 \cos (3 x)$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 \sin (x^{2}) - 2 \cos (3 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 \sin (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \sin (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 \sin (x^{2})]$ .

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Etapa 2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \sin (x^{2})$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2}$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$3 (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2}$ .

$3 (\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (\cos (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$

Etapa 2.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 \cos (x^{2}) x + \frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 \cos (3 x)]$ .

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Etapa 3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \cos (3 x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$ .

$6 \cos (x^{2}) x - 2 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $3 x$ .

$6 \cos (x^{2}) x - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$6 \cos (x^{2}) x - 2 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x$ .

$6 \cos (x^{2}) x - 2 (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \cos (x^{2}) x - 2 (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 \cos (x^{2}) x - 2 (- \sin (3 x) (3 \cdot 1))$

Etapa 3.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$6 \cos (x^{2}) x - 2 (- \sin (3 x) \cdot 3)$

Etapa 3.6

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$6 \cos (x^{2}) x - 2 (- 3 \sin (3 x))$

Etapa 3.7

Multiplique $- 3$ por $- 2$ .

$6 \cos (x^{2}) x + 6 \sin (3 x)$

Etapa 4

Reordene os termos.

$6 x \cos (x^{2}) + 6 \sin (3 x)$