Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 x^{\ln (x)}$

Etapa 1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{\ln (x)}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\ln (x)}]$

Etapa 2

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar a diferenciação.

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Etapa 2.1

Reescreva $x^{\ln (x)}$ como $e^{\ln (x^{\ln (x)})}$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\ln (x)})}]$

Etapa 2.2

Expanda $\ln (x^{\ln (x)})$ movendo $\ln (x)$ para fora do logaritmo.

$3 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x) \ln (x)}]$

Etapa 3

Eleve $\ln (x)$ à potência de $1$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln (x)}]$

Etapa 4

Eleve $\ln (x)$ à potência de $1$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{\ln^{1} (x) \ln^{1} (x)}]$

Etapa 5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 \frac{d}{d x} [e^{{\ln (x)}^{1 + 1}}]$

Etapa 6

Some $1$ e $1$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{\ln^{2} (x)}]$

Etapa 7

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \ln^{2} (x)$ .

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Etapa 7.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\ln^{2} (x)$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Etapa 7.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$3 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Etapa 7.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\ln^{2} (x)$ .

$3 (e^{\ln^{2} (x)} \frac{d}{d x} [\ln^{2} (x)])$

Etapa 8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

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Etapa 8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\ln (x)$ .

$3 e^{\ln^{2} (x)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Etapa 8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 e^{\ln^{2} (x)} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Etapa 8.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\ln (x)$ .

$3 e^{\ln^{2} (x)} (2 \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Etapa 9

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 e^{\ln^{2} (x)} (\ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Etapa 10

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$6 e^{\ln^{2} (x)} (\ln (x) \frac{1}{x})$

Etapa 11

Combine frações.

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Etapa 11.1

Combine $\ln (x)$ e $\frac{1}{x}$ .

$6 e^{\ln^{2} (x)} \frac{\ln (x)}{x}$

Etapa 11.2

Combine $\frac{\ln (x)}{x}$ e $6$ .

$\frac{\ln (x) \cdot 6}{x} e^{\ln^{2} (x)}$

Etapa 11.3

Combine $\frac{\ln (x) \cdot 6}{x}$ e $e^{\ln^{2} (x)}$ .

$\frac{\ln (x) \cdot 6 e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

Etapa 11.4

Mova $6$ para a esquerda de $\ln (x)$ .

$\frac{6 \cdot \ln (x) e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

Etapa 12

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.1

Simplifique $6 \ln (x)$ movendo $6$ para dentro do logaritmo.

$\frac{\ln (x^{6}) e^{\ln^{2} (x)}}{x}$

Etapa 12.2

Reordene os fatores em $\ln (x^{6}) e^{\ln^{2} (x)}$ .

$\frac{e^{\ln^{2} (x)} \ln (x^{6})}{x}$