Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 x^{2} + 3 \sqrt{x} + \frac{6}{\sqrt{x}}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{2} + 3 \sqrt{x} + \frac{6}{\sqrt{x}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Etapa 2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Etapa 2.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 \sqrt{x}]$ .

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Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Etapa 3.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$8 x + 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$8 x + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Etapa 3.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$8 x + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Etapa 3.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$8 x + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Etapa 3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$8 x + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Etapa 3.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$8 x + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Etapa 3.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$8 x + 3 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Etapa 3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$8 x + 3 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Etapa 3.9

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 x + 3 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Etapa 3.10

Combine $3$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$8 x + \frac{3 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Etapa 3.11

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$

Etapa 4

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{6}{\sqrt{x}}]$ .

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Etapa 4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 4.2

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{6}{x^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Etapa 4.3

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 4.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Etapa 4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 4.6

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Etapa 4.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 4.6.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.6.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 4.6.2.2

Cancele o fator comum.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 4.6.2.3

Reescreva a expressão.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

Etapa 4.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Etapa 4.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 4.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Etapa 4.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Etapa 4.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

Etapa 4.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

Etapa 4.12

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Etapa 4.13

Combine $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x^{- 1}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2})$

Etapa 4.14

Multiplique $x^{- \frac{1}{2}}$ por $x^{- 1}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.14.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2})$

Etapa 4.14.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2})$

Etapa 4.14.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Etapa 4.14.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2})$

Etapa 4.14.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.14.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2})$

Etapa 4.14.5.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2})$

Etapa 4.14.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Etapa 4.15

Mova $x^{- \frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 6 (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 4.16

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 6 \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.17

Combine $- 6$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 6}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.18

Fatore $2$ de $- 6$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.19

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.19.1

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{\frac{3}{2}})}$

Etapa 4.19.2

Cancele o fator comum.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 \cdot - 3}{2 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.19.3

Reescreva a expressão.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3}{x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 4.20

Mova o número negativo para a frente da fração.

$8 x + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{x^{\frac{3}{2}}}$