Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 x e^{- 9 x^{2}}$

Etapa 1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x e^{- 9 x^{2}}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x e^{- 9 x^{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x e^{- 9 x^{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- 9 x^{2}}$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [e^{- 9 x^{2}}] + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 9 x^{2}$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 9 x^{2}$ .

$3 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$3 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 9 x^{2}$ .

$3 (x (e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 (x (e^{- 9 x^{2}} (- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (x (e^{- 9 x^{2}} (- 9 (2 x))) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.3

Multiplique $2$ por $- 9$ .

$3 (x (e^{- 9 x^{2}} (- 18 x)) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$3 (x^{1} x (e^{- 9 x^{2}} \cdot (- 18)) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$3 (x^{1} x^{1} (e^{- 9 x^{2}} \cdot (- 18)) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 (x^{1 + 1} (e^{- 9 x^{2}} \cdot (- 18)) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 8

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.1

Some $1$ e $1$ .

$3 (x^{2} (e^{- 9 x^{2}} \cdot (- 18)) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 8.2

Mova $- 18$ para a esquerda de $e^{- 9 x^{2}}$ .

$3 (x^{2} (- 18 \cdot e^{- 9 x^{2}}) + e^{- 9 x^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 (x^{2} (- 18 e^{- 9 x^{2}}) + e^{- 9 x^{2}} \cdot 1)$

Etapa 10

Multiplique $e^{- 9 x^{2}}$ por $1$ .

$3 (x^{2} (- 18 e^{- 9 x^{2}}) + e^{- 9 x^{2}})$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (x^{2} (- 18 e^{- 9 x^{2}})) + 3 e^{- 9 x^{2}}$

Etapa 11.2

Multiplique $- 18$ por $3$ .

$- 54 x^{2} e^{- 9 x^{2}} + 3 e^{- 9 x^{2}}$

Etapa 11.3

Reordene os termos.

$- 54 e^{- 9 x^{2}} x^{2} + 3 e^{- 9 x^{2}}$

Etapa 11.4

Reordene os fatores em $- 54 e^{- 9 x^{2}} x^{2} + 3 e^{- 9 x^{2}}$ .

$- 54 x^{2} e^{- 9 x^{2}} + 3 e^{- 9 x^{2}}$