Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 x^{2} {(6 - 9 x)}^{4}$

Etapa 1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2} {(6 - 9 x)}^{4}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2} {(6 - 9 x)}^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} {(6 - 9 x)}^{4}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(6 - 9 x)}^{4}$ .

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [{(6 - 9 x)}^{4}] + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 6 - 9 x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $6 - 9 x$ .

$3 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [6 - 9 x]) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$3 (x^{2} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [6 - 9 x]) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $6 - 9 x$ .

$3 (x^{2} (4 {(6 - 9 x)}^{3} \frac{d}{d x} [6 - 9 x]) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 - 9 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$3 (x^{2} (4 {(6 - 9 x)}^{3} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- 9 x])) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.2

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 (x^{2} (4 {(6 - 9 x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- 9 x])) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

$3 (x^{2} (4 {(6 - 9 x)}^{3} \frac{d}{d x} [- 9 x]) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.4

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x^{2} (4 {(6 - 9 x)}^{3} (- 9 \frac{d}{d x} [x])) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.5

Multiplique $- 9$ por $4$ .

$3 (x^{2} (- 36 {(6 - 9 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 (x^{2} (- 36 {(6 - 9 x)}^{3} \cdot 1) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.7

Multiplique $- 36$ por $1$ .

$3 (x^{2} (- 36 {(6 - 9 x)}^{3}) + {(6 - 9 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (x^{2} (- 36 {(6 - 9 x)}^{3}) + {(6 - 9 x)}^{4} (2 x))$

Etapa 4.9

Mova $2$ para a esquerda de ${(6 - 9 x)}^{4}$ .

$3 (x^{2} (- 36 {(6 - 9 x)}^{3}) + 2 \cdot {(6 - 9 x)}^{4} x)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (x^{2} (- 36 {(6 - 9 x)}^{3})) + 3 (2 {(6 - 9 x)}^{4} x)$

Etapa 5.2

Multiplique $- 36$ por $3$ .

$- 108 (x^{2} ({(6 - 9 x)}^{3})) + 3 (2 {(6 - 9 x)}^{4} x)$

Etapa 5.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$- 108 x^{2} {(6 - 9 x)}^{3} + 6 ({(6 - 9 x)}^{4} x)$

Etapa 5.4

Fatore $6 x {(6 - 9 x)}^{3}$ de $- 108 x^{2} {(6 - 9 x)}^{3} + 6 {(6 - 9 x)}^{4} x$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $6 x {(6 - 9 x)}^{3}$ de $- 108 x^{2} {(6 - 9 x)}^{3}$ .

$6 x {(6 - 9 x)}^{3} (- 18 x) + 6 {(6 - 9 x)}^{4} x$

Etapa 5.4.2

Fatore $6 x {(6 - 9 x)}^{3}$ de $6 {(6 - 9 x)}^{4} x$ .

$6 x {(6 - 9 x)}^{3} (- 18 x) + 6 x {(6 - 9 x)}^{3} (6 - 9 x)$

Etapa 5.4.3

Fatore $6 x {(6 - 9 x)}^{3}$ de $6 x {(6 - 9 x)}^{3} (- 18 x) + 6 x {(6 - 9 x)}^{3} (6 - 9 x)$ .

$6 x {(6 - 9 x)}^{3} (- 18 x + 6 - 9 x)$

Etapa 5.5

Subtraia $9 x$ de $- 18 x$ .

$6 x {(6 - 9 x)}^{3} (- 27 x + 6)$