Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 e^{3 x} + \sin (4 x)$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 e^{3 x} + \sin (4 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 e^{3 x}]$ .

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Etapa 2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 e^{3 x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $3 x$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$2 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 x$ .

$2 (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Etapa 2.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Etapa 2.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$2 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Etapa 2.6

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$2 (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Etapa 2.7

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$ .

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $4 x$ .

$6 e^{3 x} + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$6 e^{3 x} + \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $4 x$ .

$6 e^{3 x} + \cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 3.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 e^{3 x} + \cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 e^{3 x} + \cos (4 x) (4 \cdot 1)$

Etapa 3.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$6 e^{3 x} + \cos (4 x) \cdot 4$

Etapa 3.5

Mova $4$ para a esquerda de $\cos (4 x)$ .

$6 e^{3 x} + 4 \cos (4 x)$