Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x - 7}{x^{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x - 7$ e $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x - 7] - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x - 7] - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [x - 7] - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.4

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2} (1 + 0) - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.5.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x^{2} \cdot 1 - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.5.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{x^{2} - (x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - (x - 7) (2 x)}{x^{4}}$

Etapa 2.7

Simplifique com fatoração.

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Etapa 2.7.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 2 (x - 7) x}{x^{4}}$

Etapa 2.7.2

Fatore $x$ de $x^{2} - 2 (x - 7) x$ .

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Etapa 2.7.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 2 (x - 7) x}{x^{4}}$

Etapa 2.7.2.2

Fatore $x$ de $- 2 (x - 7) x$ .

$\frac{x \cdot x + x (- 2 (x - 7))}{x^{4}}$

Etapa 2.7.2.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x (- 2 (x - 7))$ .

$\frac{x (x - 2 (x - 7))}{x^{4}}$

Etapa 3

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{x (x - 2 (x - 7))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x (x - 2 (x - 7))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x - 2 (x - 7)}{x^{3}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x - 2 x - 2 \cdot - 7}{x^{3}}$

Etapa 4.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $- 2$ por $- 7$ .

$\frac{x - 2 x + 14}{x^{3}}$

Etapa 4.2.2

Subtraia $2 x$ de $x$ .

$\frac{- x + 14}{x^{3}}$

Etapa 4.3

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{- (x) + 14}{x^{3}}$

Etapa 4.4

Reescreva $14$ como $- 1 (- 14)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 14)}{x^{3}}$

Etapa 4.5

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 14)$ .

$\frac{- (x - 14)}{x^{3}}$

Etapa 4.6

Reescreva $- (x - 14)$ como $- 1 (x - 14)$ .

$\frac{- 1 (x - 14)}{x^{3}}$

Etapa 4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x - 14}{x^{3}}$