Cálculo Exemplos

$f (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [a x^{4}] + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$ .

$\frac{d}{d x} [a x^{4}] + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [a x^{4}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $a x^{4}$ em relação a $x$ é $a \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$a \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$a (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Etapa 1.2.3

Mova $4$ para a esquerda de $a$ .

$4 a x^{3} + \frac{d}{d x} [b x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [b x^{3}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $b$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $b x^{3}$ em relação a $x$ é $b \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 a x^{3} + b \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 a x^{3} + b (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Etapa 1.3.3

Mova $3$ para a esquerda de $b$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + \frac{d}{d x} [c x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [c x^{2}]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $c$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $c x^{2}$ em relação a $x$ é $c \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + c \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + c (2 x) + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Etapa 1.4.3

Mova $2$ para a esquerda de $c$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + \frac{d}{d x} [d x] + \frac{d}{d x} [e]$

Etapa 1.5

Avalie $\frac{d}{d x} [d x]$ .

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Etapa 1.5.1

Como $d$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $d x$ em relação a $x$ é $d \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e]$

Etapa 1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e]$

Etapa 1.5.3

Multiplique $d$ por $1$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d + \frac{d}{d x} [e]$

Etapa 1.6

Como $e$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $e$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d + 0$

Etapa 1.7

Simplifique.

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Etapa 1.7.1

Some $4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d$ e $0$ .

$4 a x^{3} + 3 b x^{2} + 2 c x + d$

Etapa 1.7.2

Reordene os termos.

$d + 4 x^{3} a + 3 x^{2} b + 2 c x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $d + 4 x^{3} a + 3 x^{2} b + 2 c x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [d] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} a] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} b] + \frac{d}{d x} [2 c x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (d) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} a) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Etapa 2.1.2

Como $d$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $d$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (4 x^{3} a) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3} a]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $4 a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3} a$ em relação a $x$ é $4 a \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 0 + 4 a \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 0 + 4 a (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2} b) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2} b]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $3 b$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2} b$ em relação a $x$ é $3 b \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 3 b \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 3 b (2 x) + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 6 b x + \frac{d}{d x} (2 c x)$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [2 c x]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $2 c$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 c x$ em relação a $x$ é $2 c \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 6 b x + 2 c \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 6 b x + 2 c \cdot 1$

Etapa 2.4.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 0 + 12 a x^{2} + 6 b x + 2 c$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Some $0$ e $12 a x^{2}$ .

$f'' (x) = 12 a x^{2} + 6 b x + 2 c$

Etapa 2.5.2

Reordene os termos.

$f'' (x) = 2 c + 12 x^{2} a + 6 b x$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$d + 4 x^{3} a + 3 x^{2} b + 2 c x = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + d x + e$ com relação a $a$ é $\frac{d}{d a} [a x^{4}] + \frac{d}{d a} [b x^{3}] + \frac{d}{d a} [c x^{2}] + \frac{d}{d a} [d x] + \frac{d}{d a} [e]$ .

$f' (a) = \frac{d}{d a} (a x^{4}) + \frac{d}{d a} (b x^{3}) + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d a} [a x^{4}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $x^{4}$ é constante em relação a $a$ , a derivada de $a x^{4}$ em relação a $a$ é $x^{4} \frac{d}{d a} [a]$ .

$f' (a) = x^{4} \frac{d}{d a} (a) + \frac{d}{d a} (b x^{3}) + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ é $n a^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (a) = x^{4} \cdot 1 + \frac{d}{d a} (b x^{3}) + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $x^{4}$ por $1$ .

$f' (a) = x^{4} + \frac{d}{d a} (b x^{3}) + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.3.1

Como $b x^{3}$ é constante em relação a $a$ , a derivada de $b x^{3}$ em relação a $a$ é $0$ .

$f' (a) = x^{4} + 0 + \frac{d}{d a} (c x^{2}) + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

Etapa 4.1.3.2

Como $c x^{2}$ é constante em relação a $a$ , a derivada de $c x^{2}$ em relação a $a$ é $0$ .

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0 + \frac{d}{d a} (d x) + \frac{d}{d a} (e)$

Etapa 4.1.3.3

Como $d x$ é constante em relação a $a$ , a derivada de $d x$ em relação a $a$ é $0$ .

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0 + 0 + \frac{d}{d a} (e)$

Etapa 4.1.3.4

Como $e$ é constante em relação a $a$ , a derivada de $e$ em relação a $a$ é $0$ .

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0 + 0 + 0$

Etapa 4.1.4

Combine os termos.

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Etapa 4.1.4.1

Some $x^{4}$ e $0$ .

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0 + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $x^{4}$ e $0$ .

$f' (a) = x^{4} + 0 + 0$

Etapa 4.1.4.3

Some $x^{4}$ e $0$ .

$f' (a) = x^{4} + 0$

Etapa 4.1.4.4

Some $x^{4}$ e $0$ .

$f' (a) = x^{4}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x^{4}$ .

$x^{4}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x^{4} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$x^{4} = 0$

Etapa 5.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Etapa 5.3

Simplifique $\pm \sqrt[4]{0}$ .

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Etapa 5.3.1

Reescreva $0$ como $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Etapa 5.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 5.3.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$2 c + 12 {(0)}^{2} a + 6 b (0)$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$2 c + 12 \cdot 0 a + 6 b (0)$

Etapa 9.1.2

Multiplique $12$ por $0$ .

$2 c + 0 a + 6 b (0)$

Etapa 9.1.3

Multiplique $0$ por $a$ .

$2 c + 0 + 6 b (0)$

Etapa 9.1.4

Multiplique $6 b (0)$ .

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Etapa 9.1.4.1

Multiplique $0$ por $6$ .

$2 c + 0 + 0 b$

Etapa 9.1.4.2

Multiplique $0$ por $b$ .

$2 c + 0 + 0$

Etapa 9.2

Combine os termos opostos em $2 c + 0 + 0$ .

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Etapa 9.2.1

Some $2 c$ e $0$ .

$2 c + 0$

Etapa 9.2.2

Some $2 c$ e $0$ .

$2 c$

Etapa 10

Como o teste da primeira derivada falhou, não há um extremo local.

Nenhum extremo local

Etapa 11