Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{7 x}{x^{2} + 25}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{7 x}{x^{2} + 25}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 25}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 25}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 25$ .

$7 \frac{(x^{2} + 25) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7 \frac{(x^{2} + 25) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $x^{2} + 25$ por $1$ .

$7 \frac{x^{2} + 25 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 25]}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$7 \frac{x^{2} + 25 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$7 \frac{x^{2} + 25 - x (2 x + \frac{d}{d x} [25])}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 1.3.5

Como $25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $25$ em relação a $x$ é $0$ .

$7 \frac{x^{2} + 25 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 1.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$7 \frac{x^{2} + 25 - x (2 x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 1.3.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$7 \frac{x^{2} + 25 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$7 \frac{x^{2} + 25 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 1.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$7 \frac{x^{2} + 25 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$7 \frac{x^{2} + 25 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 1.7

Some $1$ e $1$ .

$7 \frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 1.8

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$7 \frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 1.9

Combine $7$ e $\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ .

$\frac{7 (- x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 1.10

Simplifique.

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Etapa 1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{7 (- x^{2}) + 7 \cdot 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 1.10.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.10.2.1

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$\frac{- 7 x^{2} + 7 \cdot 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 1.10.2.2

Multiplique $7$ por $25$ .

$\frac{- 7 x^{2} + 175}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- 7 x^{2} + 175) - (- 7 x^{2} + 175) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- 7 x^{2} + 175) - (- 7 x^{2} + 175) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- 7 x^{2} + 175) - (- 7 x^{2} + 175) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 7 x^{2} + 175$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [175]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 7 x^{2}) + \frac{d}{d x} (175)) - (- 7 x^{2} + 175) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.3

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 7 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (175)) - (- 7 x^{2} + 175) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 7 (2 x) + \frac{d}{d x} (175)) - (- 7 x^{2} + 175) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.5

Multiplique $2$ por $- 7$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 14 x + \frac{d}{d x} (175)) - (- 7 x^{2} + 175) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.6

Como $175$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $175$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 14 x + 0) - (- 7 x^{2} + 175) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.2.7

Some $- 14 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 14 x) - (- 7 x^{2} + 175) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + 25$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 14 x) - (- 7 x^{2} + 175) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 14 x) - (- 7 x^{2} + 175) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 14 x) - (- 7 x^{2} + 175) (2 (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.4

Diferencie.

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Etapa 2.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 14 x) - 2 (- 7 x^{2} + 175) ((x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.4.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 14 x) - 2 (- 7 x^{2} + 175) ((x^{2} + 25) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 14 x) - 2 (- 7 x^{2} + 175) ((x^{2} + 25) (2 x + \frac{d}{d x} (25)))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.4.4

Como $25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $25$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 14 x) - 2 (- 7 x^{2} + 175) ((x^{2} + 25) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.4.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.4.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 14 x) - 2 (- 7 x^{2} + 175) ((x^{2} + 25) (2 x))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.4.5.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} + 25$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 14 x) - 2 (- 7 x^{2} + 175) (2 \cdot ((x^{2} + 25) x))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.4.5.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 14 x) - 4 (- 7 x^{2} + 175) ((x^{2} + 25) x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 14 x) + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 175) ((x^{2} + 25) x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 14 x) + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 175) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{- 14 {(x^{2} + 25)}^{2} x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 175) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.2

Reescreva ${(x^{2} + 25)}^{2}$ como $(x^{2} + 25) (x^{2} + 25)$ .

$f'' (x) = \frac{- 14 ((x^{2} + 25) (x^{2} + 25)) x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 175) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.3

Expanda $(x^{2} + 25) (x^{2} + 25)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.5.3.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 14 (x^{2} (x^{2} + 25) + 25 (x^{2} + 25)) x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 175) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 14 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 25 + 25 (x^{2} + 25)) x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 175) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 14 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 25 + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 175) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.5.3.1.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.3.1.4.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.5.3.1.4.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 14 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 25 + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 175) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.4.1.1.2

Some $2$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 14 (x^{4} + x^{2} \cdot 25 + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 175) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.4.1.2

Mova $25$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 14 (x^{4} + 25 \cdot x^{2} + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 175) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.4.1.3

Multiplique $25$ por $25$ .

$f'' (x) = \frac{- 14 (x^{4} + 25 x^{2} + 25 x^{2} + 625) x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 175) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.4.2

Some $25 x^{2}$ e $25 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 14 (x^{4} + 50 x^{2} + 625) x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 175) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{(- 14 x^{4} - 14 (50 x^{2}) - 14 \cdot 625) x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 175) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.6

Simplifique.

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Etapa 2.5.3.1.6.1

Multiplique $50$ por $- 14$ .

$f'' (x) = \frac{(- 14 x^{4} - 700 x^{2} - 14 \cdot 625) x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 175) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.6.2

Multiplique $- 14$ por $625$ .

$f'' (x) = \frac{(- 14 x^{4} - 700 x^{2} - 8750) x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 175) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.7

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{4} x - 700 x^{2} x - 8750 x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 175) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.8

Simplifique.

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Etapa 2.5.3.1.8.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.8.1.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 14 (x \cdot x^{4}) - 700 x^{2} x - 8750 x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 175) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.8.1.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.8.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 14 (x \cdot x^{4}) - 700 x^{2} x - 8750 x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 175) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.8.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{1 + 4} - 700 x^{2} x - 8750 x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 175) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.8.1.3

Some $1$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 700 x^{2} x - 8750 x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 175) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.8.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.8.2.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 700 (x \cdot x^{2}) - 8750 x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 175) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.8.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.8.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 700 (x \cdot x^{2}) - 8750 x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 175) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.8.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 700 x^{1 + 2} - 8750 x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 175) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.8.2.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 700 x^{3} - 8750 x + (- 4 (- 7 x^{2}) - 4 \cdot 175) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.9

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.9.1

Multiplique $- 7$ por $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 700 x^{3} - 8750 x + (28 x^{2} - 4 \cdot 175) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.9.2

Multiplique $- 4$ por $175$ .

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 700 x^{3} - 8750 x + (28 x^{2} - 700) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.10

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.10.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.10.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 700 x^{3} - 8750 x + (28 x^{2} - 700) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.10.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 700 x^{3} - 8750 x + (28 x^{2} - 700) (x^{2 + 1} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.10.2

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 700 x^{3} - 8750 x + (28 x^{2} - 700) (x^{3} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.11

Expanda $(28 x^{2} - 700) (x^{3} + 25 x)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 700 x^{3} - 8750 x + 28 x^{2} (x^{3} + 25 x) - 700 (x^{3} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.11.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 700 x^{3} - 8750 x + 28 x^{2} x^{3} + 28 x^{2} (25 x) - 700 (x^{3} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.11.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 700 x^{3} - 8750 x + 28 x^{2} x^{3} + 28 x^{2} (25 x) - 700 x^{3} - 700 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.12

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.12.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.12.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.12.1.1.1

Mova $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 700 x^{3} - 8750 x + 28 (x^{3} x^{2}) + 28 x^{2} (25 x) - 700 x^{3} - 700 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.12.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 700 x^{3} - 8750 x + 28 x^{3 + 2} + 28 x^{2} (25 x) - 700 x^{3} - 700 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.12.1.1.3

Some $3$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 700 x^{3} - 8750 x + 28 x^{5} + 28 x^{2} (25 x) - 700 x^{3} - 700 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.12.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 700 x^{3} - 8750 x + 28 x^{5} + 28 \cdot (25 x^{2} x) - 700 x^{3} - 700 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.12.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.12.1.3.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 700 x^{3} - 8750 x + 28 x^{5} + 28 \cdot (25 (x \cdot x^{2})) - 700 x^{3} - 700 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.12.1.3.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.12.1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 700 x^{3} - 8750 x + 28 x^{5} + 28 \cdot (25 (x \cdot x^{2})) - 700 x^{3} - 700 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.12.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 700 x^{3} - 8750 x + 28 x^{5} + 28 \cdot (25 x^{1 + 2}) - 700 x^{3} - 700 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.12.1.3.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 700 x^{3} - 8750 x + 28 x^{5} + 28 \cdot (25 x^{3}) - 700 x^{3} - 700 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.12.1.4

Multiplique $28$ por $25$ .

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 700 x^{3} - 8750 x + 28 x^{5} + 700 x^{3} - 700 x^{3} - 700 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.12.1.5

Multiplique $25$ por $- 700$ .

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 700 x^{3} - 8750 x + 28 x^{5} + 700 x^{3} - 700 x^{3} - 17500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.12.2

Subtraia $700 x^{3}$ de $700 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 700 x^{3} - 8750 x + 28 x^{5} + 0 - 17500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.1.12.3

Some $28 x^{5}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 700 x^{3} - 8750 x + 28 x^{5} - 17500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.2

Some $- 14 x^{5}$ e $28 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{14 x^{5} - 700 x^{3} - 8750 x - 17500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.3.3

Subtraia $17500 x$ de $- 8750 x$ .

$f'' (x) = \frac{14 x^{5} - 700 x^{3} - 26250 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1

Fatore $14 x$ de $14 x^{5} - 700 x^{3} - 26250 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1.1

Fatore $14 x$ de $14 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{14 x (x^{4}) - 700 x^{3} - 26250 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.4.1.2

Fatore $14 x$ de $- 700 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{14 x (x^{4}) + 14 x (- 50 x^{2}) - 26250 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.4.1.3

Fatore $14 x$ de $- 26250 x$ .

$f'' (x) = \frac{14 x (x^{4}) + 14 x (- 50 x^{2}) + 14 x (- 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.4.1.4

Fatore $14 x$ de $14 x (x^{4}) + 14 x (- 50 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{14 x (x^{4} - 50 x^{2}) + 14 x (- 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.4.1.5

Fatore $14 x$ de $14 x (x^{4} - 50 x^{2}) + 14 x (- 1875)$ .

$f'' (x) = \frac{14 x (x^{4} - 50 x^{2} - 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.4.2

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{14 x ({(x^{2})}^{2} - 50 x^{2} - 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.4.3

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{14 x (u^{2} - 50 u - 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.4.4

Fatore $u^{2} - 50 u - 1875$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 1875$ e cuja soma é $- 50$ .

$- 75, 25$

Etapa 2.5.4.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$f'' (x) = \frac{14 x ((u - 75) (u + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.4.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{14 x (x^{2} - 75) (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.5

Cancele o fator comum de $x^{2} + 25$ e ${(x^{2} + 25)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.1

Fatore $x^{2} + 25$ de $14 x (x^{2} - 75) (x^{2} + 25)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 25) (14 x (x^{2} - 75))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

Etapa 2.5.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.2.1

Fatore $x^{2} + 25$ de ${(x^{2} + 25)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 25) (14 x (x^{2} - 75))}{(x^{2} + 25) {(x^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 2.5.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 25) (14 x (x^{2} - 75))}{(x^{2} + 25) {(x^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 2.5.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{14 x (x^{2} - 75)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{- 7 x^{2} + 175}{{(x^{2} + 25)}^{2}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{7 x}{x^{2} + 25}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 25}]$ .

$f' (x) = 7 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 25})$

Etapa 4.1.2

$f' (x) = 7 (\frac{(x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{2}})$

Etapa 4.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 7 (\frac{(x^{2} + 25) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{2}})$

Etapa 4.1.3.2

Multiplique $x^{2} + 25$ por $1$ .

$f' (x) = 7 (\frac{x^{2} + 25 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{2}})$

Etapa 4.1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f' (x) = 7 (\frac{x^{2} + 25 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25))}{{(x^{2} + 25)}^{2}})$

Etapa 4.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 7 (\frac{x^{2} + 25 - x (2 x + \frac{d}{d x} (25))}{{(x^{2} + 25)}^{2}})$

Etapa 4.1.3.5

Como $25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $25$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 7 (\frac{x^{2} + 25 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 25)}^{2}})$

Etapa 4.1.3.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = 7 (\frac{x^{2} + 25 - x (2 x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}})$

Etapa 4.1.3.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = 7 (\frac{x^{2} + 25 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 25)}^{2}})$

Etapa 4.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 7 (\frac{x^{2} + 25 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}})$

Etapa 4.1.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 7 (\frac{x^{2} + 25 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}})$

Etapa 4.1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = 7 (\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 25)}^{2}})$

Etapa 4.1.7

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = 7 (\frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{2}})$

Etapa 4.1.8

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = 7 (\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}})$

Etapa 4.1.9

Combine $7$ e $\frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{7 (- x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 4.1.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{7 (- x^{2}) + 7 \cdot 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 4.1.10.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.10.2.1

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$f' (x) = \frac{- 7 x^{2} + 7 \cdot 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 4.1.10.2.2

Multiplique $7$ por $25$ .

$f' (x) = \frac{- 7 x^{2} + 175}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{- 7 x^{2} + 175}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$ .

$\frac{- 7 x^{2} + 175}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{- 7 x^{2} + 175}{{(x^{2} + 25)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{- 7 x^{2} + 175}{{(x^{2} + 25)}^{2}} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$- 7 x^{2} + 175 = 0$

Etapa 5.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Subtraia $175$ dos dois lados da equação.

$- 7 x^{2} = - 175$

Etapa 5.3.2

Divida cada termo em $- 7 x^{2} = - 175$ por $- 7$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Divida cada termo em $- 7 x^{2} = - 175$ por $- 7$ .

$\frac{- 7 x^{2}}{- 7} = \frac{- 175}{- 7}$

Etapa 5.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 7 x^{2}}{- 7} = \frac{- 175}{- 7}$

Etapa 5.3.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 175}{- 7}$

Etapa 5.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.3.1

Divida $- 175$ por $- 7$ .

$x^{2} = 25$

Etapa 5.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

Etapa 5.3.4

Simplifique $\pm \sqrt{25}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Etapa 5.3.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 5$

Etapa 5.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 5$

Etapa 5.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 5$

Etapa 5.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 5, - 5$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 5, - 5$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 5$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{14 (5) ({(5)}^{2} - 75)}{{({(5)}^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Multiplique $14$ por $5$ .

$\frac{70 (5^{2} - 75)}{{(5^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 9.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{70 (5^{2} - 75)}{{(25 + 25)}^{3}}$

Etapa 9.2.2

Some $25$ e $25$ .

$\frac{70 (5^{2} - 75)}{50^{3}}$

Etapa 9.2.3

Eleve $50$ à potência de $3$ .

$\frac{70 (5^{2} - 75)}{125000}$

Etapa 9.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{70 (25 - 75)}{125000}$

Etapa 9.3.2

Subtraia $75$ de $25$ .

$\frac{70 \cdot - 50}{125000}$

Etapa 9.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1

Multiplique $70$ por $- 50$ .

$\frac{- 3500}{125000}$

Etapa 9.4.2

Cancele o fator comum de $- 3500$ e $125000$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.2.1

Fatore $500$ de $- 3500$ .

$\frac{500 (- 7)}{125000}$

Etapa 9.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.2.2.1

Fatore $500$ de $125000$ .

$\frac{500 \cdot - 7}{500 \cdot 250}$

Etapa 9.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{500 \cdot - 7}{500 \cdot 250}$

Etapa 9.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 7}{250}$

Etapa 9.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{7}{250}$

Etapa 10

$x = 5$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 5$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f (5) = \frac{7 (5)}{{(5)}^{2} + 25}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Multiplique $7$ por $5$ .

$f (5) = \frac{35}{5^{2} + 25}$

Etapa 11.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (5) = \frac{35}{25 + 25}$

Etapa 11.2.2.2

Some $25$ e $25$ .

$f (5) = \frac{35}{50}$

Etapa 11.2.3

Cancele o fator comum de $35$ e $50$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.1

Fatore $5$ de $35$ .

$f (5) = \frac{5 (7)}{50}$

Etapa 11.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.2.1

Fatore $5$ de $50$ .

$f (5) = \frac{5 \cdot 7}{5 \cdot 10}$

Etapa 11.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f (5) = \frac{5 \cdot 7}{5 \cdot 10}$

Etapa 11.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f (5) = \frac{7}{10}$

Etapa 11.2.4

A resposta final é $\frac{7}{10}$ .

$y = \frac{7}{10}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - 5$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{14 (- 5) ({(- 5)}^{2} - 75)}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Multiplique $14$ por $- 5$ .

$\frac{- 70 ({(- 5)}^{2} - 75)}{{({(- 5)}^{2} + 25)}^{3}}$

Etapa 13.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$\frac{- 70 ({(- 5)}^{2} - 75)}{{(25 + 25)}^{3}}$

Etapa 13.2.2

Some $25$ e $25$ .

$\frac{- 70 ({(- 5)}^{2} - 75)}{50^{3}}$

Etapa 13.2.3

Eleve $50$ à potência de $3$ .

$\frac{- 70 ({(- 5)}^{2} - 75)}{125000}$

Etapa 13.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$\frac{- 70 (25 - 75)}{125000}$

Etapa 13.3.2

Subtraia $75$ de $25$ .

$\frac{- 70 \cdot - 50}{125000}$

Etapa 13.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.4.1

Multiplique $- 70$ por $- 50$ .

$\frac{3500}{125000}$

Etapa 13.4.2

Cancele o fator comum de $3500$ e $125000$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.4.2.1

Fatore $500$ de $3500$ .

$\frac{500 (7)}{125000}$

Etapa 13.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.4.2.2.1

Fatore $500$ de $125000$ .

$\frac{500 \cdot 7}{500 \cdot 250}$

Etapa 13.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{500 \cdot 7}{500 \cdot 250}$

Etapa 13.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{7}{250}$

Etapa 14

$x = - 5$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 5$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- 5$ na expressão.

$f (- 5) = \frac{7 (- 5)}{{(- 5)}^{2} + 25}$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Multiplique $7$ por $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{- 35}{{(- 5)}^{2} + 25}$

Etapa 15.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$f (- 5) = \frac{- 35}{25 + 25}$

Etapa 15.2.2.2

Some $25$ e $25$ .

$f (- 5) = \frac{- 35}{50}$

Etapa 15.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 35$ e $50$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.3.1.1

Fatore $5$ de $- 35$ .

$f (- 5) = \frac{5 (- 7)}{50}$

Etapa 15.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.3.1.2.1

Fatore $5$ de $50$ .

$f (- 5) = \frac{5 \cdot - 7}{5 \cdot 10}$

Etapa 15.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- 5) = \frac{5 \cdot - 7}{5 \cdot 10}$

Etapa 15.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- 5) = \frac{- 7}{10}$

Etapa 15.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 5) = - \frac{7}{10}$

Etapa 15.2.4

A resposta final é $- \frac{7}{10}$ .

$y = - \frac{7}{10}$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{7 x}{x^{2} + 25}$ .

$(5, \frac{7}{10})$ é um máximo local

$(- 5, - \frac{7}{10})$ é um mínimo local

Etapa 17