Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{7 x^{2} + 28}{x^{4} - 16}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 7 x^{2} + 28$ e $g (x) = x^{4} - 16$ .

$\frac{(x^{4} - 16) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 28] - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x^{2} + 28$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [28]$ .

$\frac{(x^{4} - 16) (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [28]) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x^{2}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{4} - 16) (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [28]) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{4} - 16) (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [28]) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.2.4

Multiplique $2$ por $7$ .

$\frac{(x^{4} - 16) (14 x + \frac{d}{d x} [28]) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.2.5

Como $28$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $28$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{4} - 16) (14 x + 0) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.6.1

Some $14 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{4} - 16) (14 x) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.2.6.2

Mova $14$ para a esquerda de $x^{4} - 16$ .

$\frac{14 \cdot (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.2.9

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.2.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.10.1

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) (4 x^{3})}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.2.10.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - 4 (7 x^{2} + 28) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(14 x^{4} + 14 \cdot - 16) x - 4 (7 x^{2} + 28) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{14 x^{4} x + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2} + 28) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{14 x^{4} x + 14 \cdot - 16 x + (- 4 (7 x^{2}) - 4 \cdot 28) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{14 x^{4} x + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.5.1.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.5.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{14 (x \cdot x^{4}) + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.3.5.1.1.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

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Etapa 1.3.5.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{14 (x^{1} x^{4}) + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.3.5.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{14 x^{1 + 4} + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.3.5.1.1.3

Some $1$ e $4$ .

$\frac{14 x^{5} + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.3.5.1.2

Multiplique $14$ por $- 16$ .

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.3.5.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.5.1.3.1

Mova $x^{3}$ .

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 4 (7 (x^{3} x^{2})) - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.3.5.1.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 4 (7 x^{3 + 2}) - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.3.5.1.3.3

Some $3$ e $2$ .

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 4 (7 x^{5}) - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.3.5.1.4

Multiplique $7$ por $- 4$ .

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 28 x^{5} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.3.5.1.5

Multiplique $- 4$ por $28$ .

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 28 x^{5} - 112 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.3.5.2

Subtraia $28 x^{5}$ de $14 x^{5}$ .

$\frac{- 14 x^{5} - 224 x - 112 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 1.3.6

Reordene os termos.

$\frac{- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{({(x^{4} - 16)}^{2})}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{4} - 16)}^{2})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} \frac{d}{d x} (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 14 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 112 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 224 x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 14 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 112 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 224 x)) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.3

Como $- 14$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 14 x^{5}$ em relação a $x$ é $- 14 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 14 \frac{d}{d x} x^{5} + \frac{d}{d x} (- 112 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 224 x)) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 14 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 112 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 224 x)) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.5

Multiplique $5$ por $- 14$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 112 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 224 x)) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.6

Como $- 112$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 112 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 112 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 112 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 224 x)) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 112 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 224 x)) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.8

Multiplique $3$ por $- 112$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 224 x)) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.9

Como $- 224$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 224 x$ em relação a $x$ é $- 224 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224 \frac{d}{d x} x) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224 \cdot 1) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.2.11

Multiplique $- 224$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) \frac{d}{d x} {(x^{4} - 16)}^{2}}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{4} - 16$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{4} - 16$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (2 u \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4} - 16$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (2 (x^{4} - 16) \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.4

Simplifique com fatoração.

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Etapa 2.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) ((x^{4} - 16) \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.4.2

Fatore $x^{4} - 16$ de ${(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) ((x^{4} - 16) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$ .

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Etapa 2.4.2.1

Fatore $x^{4} - 16$ de ${(x^{4} - 16)}^{2} (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) ((x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224)) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) ((x^{4} - 16) \frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.4.2.2

Fatore $x^{4} - 16$ de $- 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) ((x^{4} - 16) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16])$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) ((x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224)) + (x^{4} - 16) (- 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (\frac{d}{d x} (x^{4} - 16)))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.4.2.3

Fatore $x^{4} - 16$ de $(x^{4} - 16) ((x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224)) + (x^{4} - 16) (- 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (\frac{d}{d x} [x^{4} - 16]))$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) ((x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (\frac{d}{d x} (x^{4} - 16)))}{{(x^{4} - 16)}^{4}}$

Etapa 2.5

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.5.1

Fatore $x^{4} - 16$ de ${(x^{4} - 16)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) ((x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (\frac{d}{d x} (x^{4} - 16)))}{(x^{4} - 16) {(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.5.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) ((x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (\frac{d}{d x} (x^{4} - 16)))}{(x^{4} - 16) {(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.5.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (\frac{d}{d x} (x^{4} - 16))}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.8

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.9

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.9.1

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 2 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) (4 x^{3})}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.9.2

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 8 (- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.10

Simplifique.

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Etapa 2.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) + (- 8 (- 14 x^{5}) - 8 (- 112 x^{3}) - 8 (- 224 x)) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224) - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.10.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.3.1.1

Expanda $(x^{4} - 16) (- 70 x^{4} - 336 x^{2} - 224)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$f'' (x) = \frac{x^{4} (- 70 x^{4}) + x^{4} (- 336 x^{2}) + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.10.3.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.3.1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{4} x^{4} + x^{4} (- 336 x^{2}) + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.10.3.1.2.2

Multiplique $x^{4}$ por $x^{4}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.3.1.2.2.1

Mova $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 (x^{4} x^{4}) + x^{4} (- 336 x^{2}) + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.10.3.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{4 + 4} + x^{4} (- 336 x^{2}) + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.10.3.1.2.2.3

Some $4$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} + x^{4} (- 336 x^{2}) + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.10.3.1.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{4} x^{2} + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.10.3.1.2.4

Multiplique $x^{4}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.10.3.1.2.4.1

Mova $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 (x^{2} x^{4}) + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.10.3.1.2.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{2 + 4} + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.10.3.1.2.4.3

Some $2$ e $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + x^{4} \cdot - 224 - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.10.3.1.2.5

Mova $- 224$ para a esquerda de $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} - 224 \cdot x^{4} - 16 (- 70 x^{4}) - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.10.3.1.2.6

Multiplique $- 70$ por $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} - 224 x^{4} + 1120 x^{4} - 16 (- 336 x^{2}) - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.10.3.1.2.7

Multiplique $- 336$ por $- 16$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} - 224 x^{4} + 1120 x^{4} + 5376 x^{2} - 16 \cdot - 224 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.10.3.1.2.8

Multiplique $- 16$ por $- 224$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} - 224 x^{4} + 1120 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.10.3.1.3

Some $- 224 x^{4}$ e $1120 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 - 8 (- 14 x^{5}) x^{3} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.10.3.1.4

Multiplique $x^{5}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.10.3.1.4.1

Mova $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 - 8 (- 14 (x^{3} x^{5})) - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.10.3.1.4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 - 8 (- 14 x^{3 + 5}) - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.10.3.1.4.3

Some $3$ e $5$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 - 8 (- 14 x^{8}) - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.10.3.1.5

Multiplique $- 14$ por $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} - 8 (- 112 x^{3}) x^{3} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.10.3.1.6

Multiplique $x^{3}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.3.1.6.1

Mova $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} - 8 (- 112 (x^{3} x^{3})) - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.10.3.1.6.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} - 8 (- 112 x^{3 + 3}) - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.10.3.1.6.3

Some $3$ e $3$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} - 8 (- 112 x^{6}) - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.10.3.1.7

Multiplique $- 112$ por $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} + 896 x^{6} - 8 (- 224 x) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.10.3.1.8

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.10.3.1.8.1

Mova $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} + 896 x^{6} - 8 (- 224 (x^{3} x))}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.10.3.1.8.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

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Etapa 2.10.3.1.8.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} + 896 x^{6} - 8 (- 224 (x^{3} x))}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.10.3.1.8.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} + 896 x^{6} - 8 (- 224 x^{3 + 1})}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.10.3.1.8.3

Some $3$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} + 896 x^{6} - 8 (- 224 x^{4})}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.10.3.1.9

Multiplique $- 224$ por $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{- 70 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 112 x^{8} + 896 x^{6} + 1792 x^{4}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.10.3.2

Some $- 70 x^{8}$ e $112 x^{8}$ .

$f'' (x) = \frac{42 x^{8} - 336 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 896 x^{6} + 1792 x^{4}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.10.3.3

Some $- 336 x^{6}$ e $896 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{42 x^{8} + 560 x^{6} + 896 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584 + 1792 x^{4}}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.10.3.4

Some $896 x^{4}$ e $1792 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{42 x^{8} + 560 x^{6} + 2688 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.10.4

Fatore $14$ de $42 x^{8} + 560 x^{6} + 2688 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584$ .

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Etapa 2.10.4.1

Fatore $14$ de $42 x^{8}$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8}) + 560 x^{6} + 2688 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.10.4.2

Fatore $14$ de $560 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8}) + 14 (40 x^{6}) + 2688 x^{4} + 5376 x^{2} + 3584}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.10.4.3

Fatore $14$ de $2688 x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8}) + 14 (40 x^{6}) + 14 (192 x^{4}) + 5376 x^{2} + 3584}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.10.4.4

Fatore $14$ de $5376 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8}) + 14 (40 x^{6}) + 14 (192 x^{4}) + 14 (384 x^{2}) + 3584}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.10.4.5

Fatore $14$ de $3584$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8}) + 14 (40 x^{6}) + 14 (192 x^{4}) + 14 (384 x^{2}) + 14 (256)}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.10.4.6

Fatore $14$ de $14 (3 x^{8}) + 14 (40 x^{6})$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6}) + 14 (192 x^{4}) + 14 (384 x^{2}) + 14 (256)}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.10.4.7

Fatore $14$ de $14 (3 x^{8} + 40 x^{6}) + 14 (192 x^{4})$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4}) + 14 (384 x^{2}) + 14 (256)}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.10.4.8

Fatore $14$ de $14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4}) + 14 (384 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2}) + 14 (256)}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.10.4.9

Fatore $14$ de $14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2}) + 14 (256)$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{4} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.10.5

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.10.5.1

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{({(x^{2})}^{2} - 16)}^{3}}$

Etapa 2.10.5.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{3}}$

Etapa 2.10.5.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x^{2}$ e $b = 4$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{3}}$

Etapa 2.10.5.4

Simplifique.

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Etapa 2.10.5.4.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{3}}$

Etapa 2.10.5.4.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{3}}$

Etapa 2.10.5.5

Aplique a regra do produto a $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{((x^{2} + 4) (x + 2))}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.10.5.6

Expanda $(x^{2} + 4) (x + 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.10.5.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{2} (x + 2) + 4 (x + 2))}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.10.5.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 (x + 2))}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.10.5.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.10.5.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.10.5.7.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.5.7.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.5.7.1.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{2} x + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.10.5.7.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.10.5.7.1.2

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{3} + x^{2} \cdot 2 + 4 x + 4 \cdot 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.10.5.7.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 4 x + 4 \cdot 2)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.10.5.7.3

Multiplique $4$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 8)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.10.5.8

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.5.8.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{((x^{3} + 2 x^{2}) + 4 x + 8)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.10.5.8.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x^{2} (x + 2) + 4 (x + 2))}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.10.5.9

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 2$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{((x + 2) (x^{2} + 4))}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Etapa 2.10.5.10

Aplique a regra do produto a $(x + 2) (x^{2} + 4)$ .

$f'' (x) = \frac{14 (3 x^{8} + 40 x^{6} + 192 x^{4} + 384 x^{2} + 256)}{{(x + 2)}^{3} {(x^{2} + 4)}^{3} {(x - 2)}^{3}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

$\frac{(x^{4} - 16) \frac{d}{d x} [7 x^{2} + 28] - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x^{2} + 28$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [28]$ .

$\frac{(x^{4} - 16) (\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [28]) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.2

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x^{2}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(x^{4} - 16) (7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [28]) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(x^{4} - 16) (7 (2 x) + \frac{d}{d x} [28]) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique $2$ por $7$ .

$\frac{(x^{4} - 16) (14 x + \frac{d}{d x} [28]) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.5

Como $28$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $28$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{4} - 16) (14 x + 0) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.6.1

Some $14 x$ e $0$ .

$\frac{(x^{4} - 16) (14 x) - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.6.2

Mova $14$ para a esquerda de $x^{4} - 16$ .

$\frac{14 \cdot (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) \frac{d}{d x} [x^{4} - 16]}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.9

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.10

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.10.1

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - (7 x^{2} + 28) (4 x^{3})}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.2.10.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{14 (x^{4} - 16) x - 4 (7 x^{2} + 28) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(14 x^{4} + 14 \cdot - 16) x - 4 (7 x^{2} + 28) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{14 x^{4} x + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2} + 28) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{14 x^{4} x + 14 \cdot - 16 x + (- 4 (7 x^{2}) - 4 \cdot 28) x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{14 x^{4} x + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.5.1.1

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.5.1.1.1

Mova $x$ .

$\frac{14 (x \cdot x^{4}) + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.5.1.1.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.5.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{14 (x^{1} x^{4}) + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.5.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{14 x^{1 + 4} + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.5.1.1.3

Some $1$ e $4$ .

$\frac{14 x^{5} + 14 \cdot - 16 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.5.1.2

Multiplique $14$ por $- 16$ .

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 4 (7 x^{2}) x^{3} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.5.1.3

Multiplique $x^{2}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.5.1.3.1

Mova $x^{3}$ .

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 4 (7 (x^{3} x^{2})) - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.5.1.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 4 (7 x^{3 + 2}) - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.5.1.3.3

Some $3$ e $2$ .

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 4 (7 x^{5}) - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.5.1.4

Multiplique $7$ por $- 4$ .

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 28 x^{5} - 4 \cdot 28 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.5.1.5

Multiplique $- 4$ por $28$ .

$\frac{14 x^{5} - 224 x - 28 x^{5} - 112 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.5.2

Subtraia $28 x^{5}$ de $14 x^{5}$ .

$\frac{- 14 x^{5} - 224 x - 112 x^{3}}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.1.3.6

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ .

$\frac{- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x}{{(x^{4} - 16)}^{2}} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x = 0$

Etapa 5.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Fatore $- 14 x$ de $- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1.1

Fatore $- 14 x$ de $- 14 x^{5}$ .

$- 14 x \cdot x^{4} - 112 x^{3} - 224 x = 0$

Etapa 5.3.1.1.2

Fatore $- 14 x$ de $- 112 x^{3}$ .

$- 14 x \cdot x^{4} - 14 x (8 x^{2}) - 224 x = 0$

Etapa 5.3.1.1.3

Fatore $- 14 x$ de $- 224 x$ .

$- 14 x \cdot x^{4} - 14 x (8 x^{2}) - 14 x \cdot 16 = 0$

Etapa 5.3.1.1.4

Fatore $- 14 x$ de $- 14 x (x^{4}) - 14 x (8 x^{2})$ .

$- 14 x (x^{4} + 8 x^{2}) - 14 x \cdot 16 = 0$

Etapa 5.3.1.1.5

Fatore $- 14 x$ de $- 14 x (x^{4} + 8 x^{2}) - 14 x (16)$ .

$- 14 x (x^{4} + 8 x^{2} + 16) = 0$

Etapa 5.3.1.2

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 14 x ({(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} + 16) = 0$

Etapa 5.3.1.3

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$- 14 x (u^{2} + 8 u + 16) = 0$

Etapa 5.3.1.4

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.4.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$- 14 x (u^{2} + 8 u + 4^{2}) = 0$

Etapa 5.3.1.4.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

Etapa 5.3.1.4.3

Reescreva o polinômio.

$- 14 x (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Etapa 5.3.1.4.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 4$ .

$- 14 x {(u + 4)}^{2} = 0$

Etapa 5.3.1.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$- 14 x {(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

Etapa 5.3.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

Etapa 5.3.3

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.3.4

Defina ${(x^{2} + 4)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Defina ${(x^{2} + 4)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

Etapa 5.3.4.2

Resolva ${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.2.1

Defina $x^{2} + 4$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Etapa 5.3.4.2.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.2.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 4$

Etapa 5.3.4.2.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Etapa 5.3.4.2.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.2.2.3.1

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Etapa 5.3.4.2.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Etapa 5.3.4.2.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Etapa 5.3.4.2.2.3.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Etapa 5.3.4.2.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 2$

Etapa 5.3.4.2.2.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Etapa 5.3.4.2.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.2.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2 i$

Etapa 5.3.4.2.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2 i$

Etapa 5.3.4.2.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2 i, - 2 i$

Etapa 5.3.5

A solução final são todos os valores que tornam $- 14 x {(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 2 i, - 2 i$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina o denominador em $\frac{- 14 x^{5} - 112 x^{3} - 224 x}{{(x^{4} - 16)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x^{4} - 16)}^{2} = 0$

Etapa 6.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 16)}^{2} = 0$

Etapa 6.2.1.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

${({(x^{2})}^{2} - 4^{2})}^{2} = 0$

Etapa 6.2.1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x^{2}$ e $b = 4$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 4))}^{2} = 0$

Etapa 6.2.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.4.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

${((x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}))}^{2} = 0$

Etapa 6.2.1.4.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.4.2.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

${((x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)))}^{2} = 0$

Etapa 6.2.1.4.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

${((x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

Etapa 6.2.1.5

Aplique a regra do produto a $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

${((x^{2} + 4) (x + 2))}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 6.2.1.6

Aplique a regra do produto a $(x^{2} + 4) (x + 2)$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 6.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 6.2.3

Defina ${(x^{2} + 4)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Defina ${(x^{2} + 4)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$

Etapa 6.2.3.2

Resolva ${(x^{2} + 4)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.1

Defina $x^{2} + 4$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 4 = 0$

Etapa 6.2.3.2.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 4$

Etapa 6.2.3.2.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Etapa 6.2.3.2.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.2.3.1

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Etapa 6.2.3.2.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Etapa 6.2.3.2.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Etapa 6.2.3.2.2.3.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Etapa 6.2.3.2.2.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 2$

Etapa 6.2.3.2.2.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Etapa 6.2.3.2.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.2.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2 i$

Etapa 6.2.3.2.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2 i$

Etapa 6.2.3.2.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2 i, - 2 i$

Etapa 6.2.4

Defina ${(x + 2)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.1

Defina ${(x + 2)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Etapa 6.2.4.2

Resolva ${(x + 2)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.4.2.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 6.2.4.2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 6.2.5

Defina ${(x - 2)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.5.1

Defina ${(x - 2)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 6.2.5.2

Resolva ${(x - 2)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.5.2.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 6.2.5.2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 6.2.6

A solução final são todos os valores que tornam ${(x^{2} + 4)}^{2} {(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = 2 i, - 2 i, - 2, 2$

Etapa 6.3

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{14 (3 {(0)}^{8} + 40 {(0)}^{6} + 192 {(0)}^{4} + 384 {(0)}^{2} + 256)}{{((0) + 2)}^{3} {({(0)}^{2} + 4)}^{3} {((0) - 2)}^{3}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{14 (3 \cdot 0 + 40 \cdot 0^{6} + 192 \cdot 0^{4} + 384 \cdot 0^{2} + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Etapa 9.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{14 (0 + 40 \cdot 0^{6} + 192 \cdot 0^{4} + 384 \cdot 0^{2} + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Etapa 9.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{14 (0 + 40 \cdot 0 + 192 \cdot 0^{4} + 384 \cdot 0^{2} + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Etapa 9.1.4

Multiplique $40$ por $0$ .

$\frac{14 (0 + 0 + 192 \cdot 0^{4} + 384 \cdot 0^{2} + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Etapa 9.1.5

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{14 (0 + 0 + 192 \cdot 0 + 384 \cdot 0^{2} + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Etapa 9.1.6

Multiplique $192$ por $0$ .

$\frac{14 (0 + 0 + 0 + 384 \cdot 0^{2} + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Etapa 9.1.7

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{14 (0 + 0 + 0 + 384 \cdot 0 + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Etapa 9.1.8

Multiplique $384$ por $0$ .

$\frac{14 (0 + 0 + 0 + 0 + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Etapa 9.1.9

Some $0$ e $0$ .

$\frac{14 (0 + 0 + 0 + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Etapa 9.1.10

Some $0$ e $0$ .

$\frac{14 (0 + 0 + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Etapa 9.1.11

Some $0$ e $0$ .

$\frac{14 (0 + 256)}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Etapa 9.1.12

Some $0$ e $256$ .

$\frac{14 \cdot 256}{{(0 + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Etapa 9.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Reescreva $0$ como $- 1 (0)$ .

$\frac{14 \cdot 256}{{(- 1 (0) + 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Etapa 9.2.2

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{14 \cdot 256}{{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Etapa 9.2.3

Fatore $- 1$ de $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 2$ .

$\frac{14 \cdot 256}{{(- 1 \cdot (0 - 2))}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Etapa 9.2.4

Aplique a regra do produto a $- 1 \cdot (0 - 2)$ .

$\frac{14 \cdot 256}{{(- 1)}^{3} \cdot {(0 - 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Etapa 9.2.5

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$\frac{14 \cdot 256}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{3} {(0^{2} + 4)}^{3} {(0 - 2)}^{3}}$

Etapa 9.2.6

Multiplique ${(0 - 2)}^{3}$ por ${(0 - 2)}^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.6.1

Mova ${(0 - 2)}^{3}$ .

$\frac{14 \cdot 256}{- 1 \cdot ({(0 - 2)}^{3} {(0 - 2)}^{3}) {(0^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 9.2.6.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{14 \cdot 256}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{3 + 3} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 9.2.6.3

Some $3$ e $3$ .

$\frac{14 \cdot 256}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{6} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 9.3

Multiplique $14$ por $256$ .

$\frac{3584}{- 1 \cdot {(0 - 2)}^{6} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 9.4

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1

Subtraia $2$ de $0$ .

$\frac{3584}{- 1 \cdot {(- 2)}^{6} {(0^{2} + 4)}^{3}}$

Etapa 9.4.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{3584}{- 1 \cdot {(- 2)}^{6} {(0 + 4)}^{3}}$

Etapa 9.4.3

Some $0$ e $4$ .

$\frac{3584}{- 1 \cdot {(- 2)}^{6} \cdot 4^{3}}$

Etapa 9.4.4

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.4.1

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{3584}{- 1 \cdot {(- 1 (2))}^{6} \cdot 4^{3}}$

Etapa 9.4.4.2

Aplique a regra do produto a $- 1 (2)$ .

$\frac{3584}{- 1 \cdot ({(- 1)}^{6} \cdot 2^{6}) \cdot 4^{3}}$

Etapa 9.4.4.3

Eleve $- 1$ à potência de $6$ .

$\frac{3584}{- 1 \cdot (1 \cdot 2^{6}) \cdot 4^{3}}$

Etapa 9.4.4.4

Multiplique $2^{6}$ por $1$ .

$\frac{3584}{- 1 \cdot 2^{6} \cdot 4^{3}}$

Etapa 9.4.4.5

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{3584}{- 1 \cdot ({(2^{2})}^{3} \cdot 2^{6})}$

Etapa 9.4.4.6

Multiplique os expoentes em ${(2^{2})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.4.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3584}{- 1 \cdot (2^{2 \cdot 3} \cdot 2^{6})}$

Etapa 9.4.4.6.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{3584}{- 1 \cdot (2^{6} \cdot 2^{6})}$

Etapa 9.4.4.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3584}{- 1 \cdot 2^{6 + 6}}$

Etapa 9.4.4.8

Some $6$ e $6$ .

$\frac{3584}{- 1 \cdot 2^{12}}$

Etapa 9.4.5

Eleve $2$ à potência de $12$ .

$\frac{3584}{- 1 \cdot 4096}$

Etapa 9.5

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.5.1

Multiplique $- 1$ por $4096$ .

$\frac{3584}{- 4096}$

Etapa 9.5.2

Cancele o fator comum de $3584$ e $- 4096$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.5.2.1

Fatore $512$ de $3584$ .

$\frac{512 (7)}{- 4096}$

Etapa 9.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.5.2.2.1

Fatore $512$ de $- 4096$ .

$\frac{512 \cdot 7}{512 \cdot - 8}$

Etapa 9.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{512 \cdot 7}{512 \cdot - 8}$

Etapa 9.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{7}{- 8}$

Etapa 9.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{7}{8}$

Etapa 10

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \frac{7 {(0)}^{2} + 28}{{(0)}^{4} - 16}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = \frac{7 \cdot 0 + 28}{0^{4} - 16}$

Etapa 11.2.1.2

Multiplique $7$ por $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 28}{0^{4} - 16}$

Etapa 11.2.1.3

Some $0$ e $28$ .

$f (0) = \frac{28}{0^{4} - 16}$

Etapa 11.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = \frac{28}{0 - 16}$

Etapa 11.2.2.2

Subtraia $16$ de $0$ .

$f (0) = \frac{28}{- 16}$

Etapa 11.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.1

Cancele o fator comum de $28$ e $- 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.1.1

Fatore $4$ de $28$ .

$f (0) = \frac{4 (7)}{- 16}$

Etapa 11.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.1.2.1

Fatore $4$ de $- 16$ .

$f (0) = \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot - 4}$

Etapa 11.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (0) = \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot - 4}$

Etapa 11.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (0) = \frac{7}{- 4}$

Etapa 11.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (0) = - \frac{7}{4}$

Etapa 11.2.4

A resposta final é $- \frac{7}{4}$ .

$y = - \frac{7}{4}$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{7 x^{2} + 28}{x^{4} - 16}$ .

$(0, - \frac{7}{4})$ é um máximo local

Etapa 13