Cálculo Exemplos

$f (x) = e^{3 x} + e^{- x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{3 x} + e^{- x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $3 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 1.2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 1.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 x$ .

$e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 1.2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 1.2.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 1.2.5

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- x$ .

$3 e^{3 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$3 e^{3 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- x$ .

$3 e^{3 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.3.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 e^{3 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 e^{3 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Etapa 1.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$3 e^{3 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Etapa 1.3.5

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$3 e^{3 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Etapa 1.3.6

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$3 e^{3 x} - e^{- x}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 e^{3 x} - e^{- x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 e^{3 x}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 e^{3 x}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $3 x$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (3 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 3 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (3 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 x$ .

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Etapa 2.2.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Etapa 2.2.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$f'' (x) = 3 (e^{3 x} \cdot 3) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Etapa 2.2.6

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 3 (3 \cdot e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Etapa 2.2.7

Multiplique $3$ por $3$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} + \frac{d}{d x} (- e^{- x})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e^{- x}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - \frac{d}{d x} e^{- x}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- x$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x))$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x))$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- x$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Etapa 2.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Etapa 2.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (e^{- x} \cdot - 1)$

Etapa 2.3.6

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} - (- 1 \cdot e^{- x})$

Etapa 2.3.7

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} + e^{- x}$

Etapa 2.3.8

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} + 1 e^{- x}$

Etapa 2.3.9

Multiplique $e^{- x}$ por $1$ .

$f'' (x) = 9 e^{3 x} + e^{- x}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$3 e^{3 x} - e^{- x} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{3 x} + e^{- x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{3 x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 4.1.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $3 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Etapa 4.1.2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Etapa 4.1.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 x$ .

$f' (x) = e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Etapa 4.1.2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Etapa 4.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$f' (x) = e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Etapa 4.1.2.5

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 x}$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} + \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 4.1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- x$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)$

Etapa 4.1.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)$

Etapa 4.1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- x$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)$

Etapa 4.1.3.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)$

Etapa 4.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Etapa 4.1.3.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Etapa 4.1.3.5

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Etapa 4.1.3.6

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$f' (x) = 3 e^{3 x} - e^{- x}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 e^{3 x} - e^{- x}$ .

$3 e^{3 x} - e^{- x}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 e^{3 x} - e^{- x} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 e^{3 x} - e^{- x} = 0$

Etapa 5.2

Mova $- e^{- x}$ para o lado direito da equação, somando-o aos dois lados.

$3 e^{3 x} = e^{- x}$

Etapa 5.3

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (3 e^{3 x}) = \ln (e^{- x})$

Etapa 5.4

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.1

Reescreva $\ln (3 e^{3 x})$ como $\ln (3) + \ln (e^{3 x})$ .

$\ln (3) + \ln (e^{3 x}) = \ln (e^{- x})$

Etapa 5.4.2

Expanda $\ln (e^{3 x})$ movendo $3 x$ para fora do logaritmo.

$\ln (3) + 3 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

Etapa 5.4.3

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\ln (3) + 3 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

Etapa 5.4.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$\ln (3) + 3 x = \ln (e^{- x})$

Etapa 5.5

Expanda o lado direito.

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Etapa 5.5.1

Expanda $\ln (e^{- x})$ movendo $- x$ para fora do logaritmo.

$\ln (3) + 3 x = - x \ln (e)$

Etapa 5.5.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\ln (3) + 3 x = - x \cdot 1$

Etapa 5.5.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\ln (3) + 3 x = - x$

Etapa 5.6

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.6.1

Some $x$ aos dois lados da equação.

$\ln (3) + 3 x + x = 0$

Etapa 5.6.2

Some $3 x$ e $x$ .

$\ln (3) + 4 x = 0$

Etapa 5.7

Subtraia $\ln (3)$ dos dois lados da equação.

$4 x = - \ln (3)$

Etapa 5.8

Divida cada termo em $4 x = - \ln (3)$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 5.8.1

Divida cada termo em $4 x = - \ln (3)$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \ln (3)}{4}$

Etapa 5.8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.8.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- \ln (3)}{4}$

Etapa 5.8.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (3)}{4}$

Etapa 5.8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.8.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{\ln (3)}{4}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = - \frac{\ln (3)}{4}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{\ln (3)}{4}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$9 e^{3 (- \frac{\ln (3)}{4})} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Etapa 9

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1

Reescreva $\frac{\ln (3)}{4}$ como $\frac{1}{4} \ln (3)$ .

$9 e^{3 (- (\frac{1}{4} \ln (3)))} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Etapa 9.2

Simplifique $\frac{1}{4} \ln (3)$ movendo $\frac{1}{4}$ para dentro do logaritmo.

$9 e^{3 (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Etapa 9.3

Multiplique $3 (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))$ .

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Etapa 9.3.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$9 e^{- 3 \ln (3^{\frac{1}{4}})} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Etapa 9.3.2

Simplifique $- 3 \ln (3^{\frac{1}{4}})$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$9 e^{- \ln ({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Etapa 9.4

Simplifique $- \ln ({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$9 e^{\ln ({({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})}^{- 1})} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Etapa 9.5

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$9 {({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})}^{- 1} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Etapa 9.6

Multiplique os expoentes em ${({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 9.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 {(3^{\frac{1}{4}})}^{3 \cdot - 1} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Etapa 9.6.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$9 {(3^{\frac{1}{4}})}^{- 3} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Etapa 9.7

Multiplique os expoentes em ${(3^{\frac{1}{4}})}^{- 3}$ .

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Etapa 9.7.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 \cdot 3^{\frac{1}{4} \cdot - 3} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Etapa 9.7.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $- 3$ .

$9 \cdot 3^{\frac{- 3}{4}} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Etapa 9.7.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$9 \cdot 3^{- \frac{3}{4}} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Etapa 9.8

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$9 \cdot \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Etapa 9.9

Combine $9$ e $\frac{1}{3^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{- (- \frac{\ln (3)}{4})}$

Etapa 9.10

Reescreva $\frac{\ln (3)}{4}$ como $\frac{1}{4} \ln (3)$ .

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{- - (\frac{1}{4} \ln (3))}$

Etapa 9.11

Simplifique $\frac{1}{4} \ln (3)$ movendo $\frac{1}{4}$ para dentro do logaritmo.

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{- - \ln (3^{\frac{1}{4}})}$

Etapa 9.12

Multiplique $- - \ln (3^{\frac{1}{4}})$ .

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Etapa 9.12.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{1 \ln (3^{\frac{1}{4}})}$

Etapa 9.12.2

Multiplique $\ln (3^{\frac{1}{4}})$ por $1$ .

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{\ln (3^{\frac{1}{4}})}$

Etapa 9.13

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$\frac{9}{3^{\frac{3}{4}}} + 3^{\frac{1}{4}}$

Etapa 10

$x = - \frac{\ln (3)}{4}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{\ln (3)}{4}$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = - \frac{\ln (3)}{4}$ .

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Etapa 11.1

Simplify $- \frac{\ln (3)}{4}$ to substitute in $f (x) = e^{3 x} + e^{- x}$ .

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Etapa 11.1.1

Reescreva $\frac{\ln (3)}{4}$ como $\frac{1}{4} \ln (3)$ .

$y = - (\frac{1}{4} \cdot \ln (3))$

Etapa 11.1.2

Simplifique $\frac{1}{4} \ln (3)$ movendo $\frac{1}{4}$ para dentro do logaritmo.

$y = - \ln (3^{\frac{1}{4}})$

Etapa 11.2

Substitua a variável $x$ por $- \ln (3^{\frac{1}{4}})$ na expressão.

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = e^{3 (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Etapa 11.3

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1.1

Multiplique $3 (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))$ .

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Etapa 11.3.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = e^{- 3 \ln (3^{\frac{1}{4}})} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Etapa 11.3.1.1.2

Simplifique $- 3 \ln (3^{\frac{1}{4}})$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = e^{- \ln ({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Etapa 11.3.1.2

Simplifique $- \ln ({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = e^{\ln ({({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})}^{- 1})} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Etapa 11.3.1.3

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = {({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})}^{- 1} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Etapa 11.3.1.4

Multiplique os expoentes em ${({(3^{\frac{1}{4}})}^{3})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = {(3^{\frac{1}{4}})}^{3 \cdot - 1} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Etapa 11.3.1.4.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = {(3^{\frac{1}{4}})}^{- 3} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Etapa 11.3.1.5

Multiplique os expoentes em ${(3^{\frac{1}{4}})}^{- 3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = 3^{\frac{1}{4} \cdot - 3} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Etapa 11.3.1.5.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $- 3$ .

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = 3^{\frac{- 3}{4}} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Etapa 11.3.1.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = 3^{- \frac{3}{4}} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Etapa 11.3.1.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))}$

Etapa 11.3.1.7

Multiplique $- (- \ln (3^{\frac{1}{4}}))$ .

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Etapa 11.3.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{1 \ln (3^{\frac{1}{4}})}$

Etapa 11.3.1.7.2

Multiplique $\ln (3^{\frac{1}{4}})$ por $1$ .

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + e^{\ln (3^{\frac{1}{4}})}$

Etapa 11.3.1.8

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

$f (- \ln (3^{\frac{1}{4}})) = \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + 3^{\frac{1}{4}}$

Etapa 11.3.2

A resposta final é $\frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + 3^{\frac{1}{4}}$ .

$y = \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + 3^{\frac{1}{4}}$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = e^{3 x} + e^{- x}$ .

$(- \frac{\ln (3)}{4}, \frac{1}{3^{\frac{3}{4}}} + 3^{\frac{1}{4}})$ é um mínimo local

Etapa 13