Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{4} x^{4} - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{4} x^{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2.3

Combine $4$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2.4

Combine $\frac{4}{4}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2.5

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.2.5.2

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} - \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{3} - 1 \cdot 1$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$x^{3} - 1$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 0$

Etapa 2.4

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = 3 x^{2}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$x^{3} - 1 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{4} x^{4} - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{4} x^{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 4.1.2.3

Combine $4$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 4.1.2.4

Combine $\frac{4}{4}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 4.1.2.5

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.1.2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 4.1.2.5.2

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} - \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{3} - 1 \cdot 1$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = x^{3} - 1$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x^{3} - 1$ .

$x^{3} - 1$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x^{3} - 1 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$x^{3} - 1 = 0$

Etapa 5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x^{3} = 1$

Etapa 5.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x^{3} - 1 = 0$

Etapa 5.4

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.4.1

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$x^{3} - 1^{3} = 0$

Etapa 5.4.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Etapa 5.4.3

Simplifique.

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Etapa 5.4.3.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2}) = 0$

Etapa 5.4.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

Etapa 5.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Etapa 5.6

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.6.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 5.6.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 5.7

Defina $x^{2} + x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.7.1

Defina $x^{2} + x + 1$ como igual a $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Etapa 5.7.2

Resolva $x^{2} + x + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.7.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5.7.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 1$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.7.2.3

Simplifique.

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Etapa 5.7.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.7.2.3.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.7.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Etapa 5.7.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.7.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.7.2.3.1.3

Subtraia $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.7.2.3.1.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.7.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.7.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.7.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 5.7.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 5.7.2.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.7.2.4.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.7.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Etapa 5.7.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.7.2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.7.2.4.1.3

Subtraia $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.7.2.4.1.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.7.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.7.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.7.2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 5.7.2.4.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 5.7.2.4.4

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 5.7.2.4.5

Fatore $- 1$ de $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Etapa 5.7.2.4.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Etapa 5.7.2.4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 5.7.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 5.7.2.5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.7.2.5.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.7.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Etapa 5.7.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.7.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.7.2.5.1.3

Subtraia $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.7.2.5.1.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.7.2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.7.2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.7.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 5.7.2.5.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 5.7.2.5.4

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 5.7.2.5.5

Fatore $- 1$ de $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Etapa 5.7.2.5.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Etapa 5.7.2.5.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 5.7.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 5.8

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 1$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$3 {(1)}^{2}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$3 \cdot 1$

Etapa 9.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 10

$x = 1$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 1$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 1$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \frac{1}{4} \cdot {(1)}^{4} - (1)$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = \frac{1}{4} \cdot 1 - (1)$

Etapa 11.2.1.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$f (1) = \frac{1}{4} - (1)$

Etapa 11.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (1) = \frac{1}{4} - 1$

Etapa 11.2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$f (1) = \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 11.2.3

Combine $- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$f (1) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}$

Etapa 11.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (1) = \frac{1 - 1 \cdot 4}{4}$

Etapa 11.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f (1) = \frac{1 - 4}{4}$

Etapa 11.2.5.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$f (1) = \frac{- 3}{4}$

Etapa 11.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (1) = - \frac{3}{4}$

Etapa 11.2.7

A resposta final é $- \frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{3}{4}$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - x$ .

$(1, - \frac{3}{4})$ é um mínimo local

Etapa 13