Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - 3 x^{3} - \frac{81}{2} x^{2} + 729 x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{4} x^{4} - 3 x^{3} - \frac{81}{2} x^{2} + 729 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{4} x^{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Etapa 1.2.3

Combine $4$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Etapa 1.2.4

Combine $\frac{4}{4}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Etapa 1.2.5

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Etapa 1.2.5.2

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $- \frac{81}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{81}{2} x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{81}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{3} - 9 x^{2} - \frac{81}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [729 x]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{3} - 9 x^{2} - \frac{81}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [729 x]$

Etapa 1.4.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x^{3} - 9 x^{2} - 2 (\frac{81}{2}) x + \frac{d}{d x} [729 x]$

Etapa 1.4.4

Combine $- 2$ e $\frac{81}{2}$ .

$x^{3} - 9 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 81}{2} x + \frac{d}{d x} [729 x]$

Etapa 1.4.5

Multiplique $- 2$ por $81$ .

$x^{3} - 9 x^{2} + \frac{- 162}{2} x + \frac{d}{d x} [729 x]$

Etapa 1.4.6

Combine $\frac{- 162}{2}$ e $x$ .

$x^{3} - 9 x^{2} + \frac{- 162 x}{2} + \frac{d}{d x} [729 x]$

Etapa 1.4.7

Cancele o fator comum de $- 162$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.7.1

Fatore $2$ de $- 162 x$ .

$x^{3} - 9 x^{2} + \frac{2 (- 81 x)}{2} + \frac{d}{d x} [729 x]$

Etapa 1.4.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.7.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$x^{3} - 9 x^{2} + \frac{2 (- 81 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [729 x]$

Etapa 1.4.7.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{3} - 9 x^{2} + \frac{2 (- 81 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [729 x]$

Etapa 1.4.7.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{3} - 9 x^{2} + \frac{- 81 x}{1} + \frac{d}{d x} [729 x]$

Etapa 1.4.7.2.4

Divida $- 81 x$ por $1$ .

$x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + \frac{d}{d x} [729 x]$

Etapa 1.5

Avalie $\frac{d}{d x} [729 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Como $729$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $729 x$ em relação a $x$ é $729 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729 \cdot 1$

Etapa 1.5.3

Multiplique $729$ por $1$ .

$x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 81 x] + \frac{d}{d x} [729]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 81 x) + \frac{d}{d x} (729)$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 81 x) + \frac{d}{d x} (729)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 81 x) + \frac{d}{d x} (729)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 81 x) + \frac{d}{d x} (729)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $- 9$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} (- 81 x) + \frac{d}{d x} (729)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 81 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 81$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 81 x$ em relação a $x$ é $- 81 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} - 18 x - 81 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (729)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} - 18 x - 81 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (729)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 81$ por $1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} - 18 x - 81 + \frac{d}{d x} (729)$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $729$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $729$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} - 18 x - 81 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $3 x^{2} - 18 x - 81$ e $0$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} - 18 x - 81$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{4} x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{81}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{4} x^{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{81}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{4} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{81}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Etapa 4.1.2.3

Combine $4$ e $\frac{1}{4}$ .

$f' (x) = \frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{81}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Etapa 4.1.2.4

Combine $\frac{4}{4}$ e $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{81}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Etapa 4.1.2.5

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.5.1

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{81}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Etapa 4.1.2.5.2

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$f' (x) = x^{3} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{81}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = x^{3} - 3 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{81}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{81}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{81}{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Etapa 4.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{81}{2} x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Como $- \frac{81}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{81}{2} x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{81}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} - \frac{81}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (729 x)$

Etapa 4.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} - \frac{81}{2} \cdot (2 x) + \frac{d}{d x} (729 x)$

Etapa 4.1.4.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} - 2 (\frac{81}{2}) \cdot x + \frac{d}{d x} (729 x)$

Etapa 4.1.4.4

Combine $- 2$ e $\frac{81}{2}$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 81}{2} x + \frac{d}{d x} (729 x)$

Etapa 4.1.4.5

Multiplique $- 2$ por $81$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} + \frac{- 162}{2} x + \frac{d}{d x} (729 x)$

Etapa 4.1.4.6

Combine $\frac{- 162}{2}$ e $x$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} + \frac{- 162 x}{2} + \frac{d}{d x} (729 x)$

Etapa 4.1.4.7

Cancele o fator comum de $- 162$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.7.1

Fatore $2$ de $- 162 x$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} + \frac{2 (- 81 x)}{2} + \frac{d}{d x} (729 x)$

Etapa 4.1.4.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.7.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} + \frac{2 (- 81 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (729 x)$

Etapa 4.1.4.7.2.2

Cancele o fator comum.

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} + \frac{2 (- 81 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (729 x)$

Etapa 4.1.4.7.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} + \frac{- 81 x}{1} + \frac{d}{d x} (729 x)$

Etapa 4.1.4.7.2.4

Divida $- 81 x$ por $1$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + \frac{d}{d x} (729 x)$

Etapa 4.1.5

Avalie $\frac{d}{d x} [729 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

Como $729$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $729 x$ em relação a $x$ é $729 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729 \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729 \cdot 1$

Etapa 4.1.5.3

Multiplique $729$ por $1$ .

$f' (x) = x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729$ .

$x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729 = 0$

Etapa 5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(x^{3} - 9 x^{2}) - 81 x + 729 = 0$

Etapa 5.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x^{2} (x - 9) - 81 (x - 9) = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 9$ .

$(x - 9) (x^{2} - 81) = 0$

Etapa 5.2.3

Reescreva $81$ como $9^{2}$ .

$(x - 9) (x^{2} - 9^{2}) = 0$

Etapa 5.2.4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 9$ .

$(x - 9) ((x + 9) (x - 9)) = 0$

Etapa 5.2.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 9) (x + 9) (x - 9) = 0$

Etapa 5.2.5

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.5.1

Eleve $x - 9$ à potência de $1$ .

$(x - 9) (x - 9) (x + 9) = 0$

Etapa 5.2.5.2

Eleve $x - 9$ à potência de $1$ .

$(x - 9) (x - 9) (x + 9) = 0$

Etapa 5.2.5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

${(x - 9)}^{1 + 1} (x + 9) = 0$

Etapa 5.2.5.4

Some $1$ e $1$ .

${(x - 9)}^{2} (x + 9) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x - 9)}^{2} = 0$

$x + 9 = 0$

Etapa 5.4

Defina ${(x - 9)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Defina ${(x - 9)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 9)}^{2} = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva ${(x - 9)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Defina $x - 9$ como igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

Etapa 5.4.2.2

Some $9$ aos dois lados da equação.

$x = 9$

Etapa 5.5

Defina $x + 9$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $x + 9$ como igual a $0$ .

$x + 9 = 0$

Etapa 5.5.2

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$x = - 9$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam ${(x - 9)}^{2} (x + 9) = 0$ verdadeiro.

$x = 9, - 9$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 9, - 9$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 9$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$3 {(9)}^{2} - 18 \cdot 9 - 81$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$3 \cdot 81 - 18 \cdot 9 - 81$

Etapa 9.1.2

Multiplique $3$ por $81$ .

$243 - 18 \cdot 9 - 81$

Etapa 9.1.3

Multiplique $- 18$ por $9$ .

$243 - 162 - 81$

Etapa 9.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Subtraia $162$ de $243$ .

$81 - 81$

Etapa 9.2.2

Subtraia $81$ de $81$ .

$0$

Etapa 10

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, 9) \cup (9, \infty)$

Etapa 10.2

Substitua qualquer número, como $- 12$ , do intervalo $(- \infty, - 9)$ na primeira derivada $x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 12$ na expressão.

$f' (- 12) = {(- 12)}^{3} - 9 {(- 12)}^{2} - 81 \cdot - 12 + 729$

Etapa 10.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1.1

Eleve $- 12$ à potência de $3$ .

$f' (- 12) = - 1728 - 9 {(- 12)}^{2} - 81 \cdot - 12 + 729$

Etapa 10.2.2.1.2

Eleve $- 12$ à potência de $2$ .

$f' (- 12) = - 1728 - 9 \cdot 144 - 81 \cdot - 12 + 729$

Etapa 10.2.2.1.3

Multiplique $- 9$ por $144$ .

$f' (- 12) = - 1728 - 1296 - 81 \cdot - 12 + 729$

Etapa 10.2.2.1.4

Multiplique $- 81$ por $- 12$ .

$f' (- 12) = - 1728 - 1296 + 972 + 729$

Etapa 10.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.2.1

Subtraia $1296$ de $- 1728$ .

$f' (- 12) = - 3024 + 972 + 729$

Etapa 10.2.2.2.2

Some $- 3024$ e $972$ .

$f' (- 12) = - 2052 + 729$

Etapa 10.2.2.2.3

Some $- 2052$ e $729$ .

$f' (- 12) = - 1323$

Etapa 10.2.2.3

A resposta final é $- 1323$ .

$- 1323$

Etapa 10.3

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- 9, 9)$ na primeira derivada $x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{2} - 81 \cdot 0 + 729$

Etapa 10.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = 0 - 9 {(0)}^{2} - 81 \cdot 0 + 729$

Etapa 10.3.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = 0 - 9 \cdot 0 - 81 \cdot 0 + 729$

Etapa 10.3.2.1.3

Multiplique $- 9$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 81 \cdot 0 + 729$

Etapa 10.3.2.1.4

Multiplique $- 81$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 0 + 729$

Etapa 10.3.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 729$

Etapa 10.3.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 + 729$

Etapa 10.3.2.2.3

Some $0$ e $729$ .

$f' (0) = 729$

Etapa 10.3.2.3

A resposta final é $729$ .

$729$

Etapa 10.4

Substitua qualquer número, como $12$ , do intervalo $(9, \infty)$ na primeira derivada $x^{3} - 9 x^{2} - 81 x + 729$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1

Substitua a variável $x$ por $12$ na expressão.

$f' (12) = {(12)}^{3} - 9 {(12)}^{2} - 81 \cdot 12 + 729$

Etapa 10.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.1.1

Eleve $12$ à potência de $3$ .

$f' (12) = 1728 - 9 {(12)}^{2} - 81 \cdot 12 + 729$

Etapa 10.4.2.1.2

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$f' (12) = 1728 - 9 \cdot 144 - 81 \cdot 12 + 729$

Etapa 10.4.2.1.3

Multiplique $- 9$ por $144$ .

$f' (12) = 1728 - 1296 - 81 \cdot 12 + 729$

Etapa 10.4.2.1.4

Multiplique $- 81$ por $12$ .

$f' (12) = 1728 - 1296 - 972 + 729$

Etapa 10.4.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.2.1

Subtraia $1296$ de $1728$ .

$f' (12) = 432 - 972 + 729$

Etapa 10.4.2.2.2

Subtraia $972$ de $432$ .

$f' (12) = - 540 + 729$

Etapa 10.4.2.2.3

Some $- 540$ e $729$ .

$f' (12) = 189$

Etapa 10.4.2.3

A resposta final é $189$ .

$189$

Etapa 10.5

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = - 9$ , então $x = - 9$ é um mínimo local.

$x = - 9$ é um mínimo local

Etapa 10.6

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = 9$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 10.7

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{1}{4} x^{4} - 3 x^{3} - \frac{81}{2} x^{2} + 729 x$ .

$x = - 9$ é um mínimo local

Etapa 11