Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2} + 5 x + 16$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2} + 5 x + 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Combine $\frac{10}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3}}{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 1.2.2

Multiplique $\frac{10 x^{3}}{3}$ por $\frac{51}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3} \cdot 51}{3 \cdot 2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $51$ por $10$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{510 x^{3}}{3 \cdot 2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 1.2.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{510 x^{3}}{6} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 1.2.5

Cancele o fator comum de $510$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Fatore $6$ de $510 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 1.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.2.1

Fatore $6$ de $6$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6 (1)} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 1.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6 \cdot 1} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 1.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d}{d x} [\frac{85 x^{3}}{1} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 1.2.5.2.4

Divida $85 x^{3}$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [85 x^{3} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 1.2.6

Multiplique $x^{3}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [85 (x^{2} x^{3})] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 1.2.6.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d x} [85 x^{2 + 3}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 1.2.6.3

Some $2$ e $3$ .

$\frac{d}{d x} [85 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 1.2.7

Como $85$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $85 x^{5}$ em relação a $x$ é $85 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$85 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 1.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$85 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 1.2.9

Multiplique $5$ por $85$ .

$425 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$425 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$425 x^{4} + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$425 x^{4} + 5 + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16$ em relação a $x$ é $0$ .

$425 x^{4} + 5 + 0$

Etapa 1.4.2

Some $425 x^{4} + 5$ e $0$ .

$425 x^{4} + 5$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $425 x^{4} + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [425 x^{4}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (425 x^{4}) + \frac{d}{d x} (5)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [425 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $425$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $425 x^{4}$ em relação a $x$ é $425 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 425 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (5)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = 425 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (5)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $4$ por $425$ .

$f'' (x) = 1700 x^{3} + \frac{d}{d x} (5)$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 1700 x^{3} + 0$

Etapa 2.3.2

Some $1700 x^{3}$ e $0$ .

$f'' (x) = 1700 x^{3}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$425 x^{4} + 5 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Combine $\frac{10}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3}}{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $\frac{10 x^{3}}{3}$ por $\frac{51}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{10 x^{3} \cdot 51}{3 \cdot 2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $51$ por $10$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{510 x^{3}}{3 \cdot 2} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{510 x^{3}}{6} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 4.1.2.5

Cancele o fator comum de $510$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.5.1

Fatore $6$ de $510 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 4.1.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.5.2.1

Fatore $6$ de $6$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6 (1)} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 4.1.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{d}{d x} [\frac{6 (85 x^{3})}{6 \cdot 1} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 4.1.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d}{d x} [\frac{85 x^{3}}{1} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 4.1.2.5.2.4

Divida $85 x^{3}$ por $1$ .

$\frac{d}{d x} [85 x^{3} \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 4.1.2.6

Multiplique $x^{3}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.6.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [85 (x^{2} x^{3})] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 4.1.2.6.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{d x} [85 x^{2 + 3}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 4.1.2.6.3

Some $2$ e $3$ .

$\frac{d}{d x} [85 x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 4.1.2.7

Como $85$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $85 x^{5}$ em relação a $x$ é $85 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$85 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 4.1.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$85 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 4.1.2.9

Multiplique $5$ por $85$ .

$425 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$425 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$425 x^{4} + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$425 x^{4} + 5 + \frac{d}{d x} [16]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16$ em relação a $x$ é $0$ .

$425 x^{4} + 5 + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $425 x^{4} + 5$ e $0$ .

$f' (x) = 425 x^{4} + 5$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $425 x^{4} + 5$ .

$425 x^{4} + 5$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $425 x^{4} + 5 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$425 x^{4} + 5 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$425 x^{4} = - 5$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $425 x^{4} = - 5$ por $425$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $425 x^{4} = - 5$ por $425$ .

$\frac{425 x^{4}}{425} = \frac{- 5}{425}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $425$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{425 x^{4}}{425} = \frac{- 5}{425}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} = \frac{- 5}{425}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Cancele o fator comum de $- 5$ e $425$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.1

Fatore $5$ de $- 5$ .

$x^{4} = \frac{5 (- 1)}{425}$

Etapa 5.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.2.1

Fatore $5$ de $425$ .

$x^{4} = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 85}$

Etapa 5.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{4} = \frac{5 \cdot - 1}{5 \cdot 85}$

Etapa 5.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{4} = \frac{- 1}{85}$

Etapa 5.3.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x^{4} = - \frac{1}{85}$

Etapa 5.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$

Etapa 5.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$

Etapa 5.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$

Etapa 5.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}, - \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}, - \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \sqrt[4]{- \frac{1}{85}}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$1700 {(\sqrt[4]{- \frac{1}{85}})}^{3}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Reescreva ${\sqrt[4]{- \frac{1}{85}}}^{3}$ como $\sqrt[4]{{(- \frac{1}{85})}^{3}}$ .

$1700 \sqrt[4]{{(- \frac{1}{85})}^{3}}$

Etapa 9.2

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{85}$ .

$1700 \sqrt[4]{{(- 1)}^{3} {(\frac{1}{85})}^{3}}$

Etapa 9.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$1700 \sqrt[4]{- {(\frac{1}{85})}^{3}}$

Etapa 9.4

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{85}$ .

$1700 \sqrt[4]{- \frac{1^{3}}{85^{3}}}$

Etapa 9.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$1700 \sqrt[4]{- \frac{1}{85^{3}}}$

Etapa 9.6

Eleve $85$ à potência de $3$ .

$1700 \sqrt[4]{- \frac{1}{614125}}$

Etapa 10

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 10.2

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- \infty, \infty)$ na primeira derivada $425 x^{4} + 5$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.2.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = 425 {(0)}^{4} + 5$

Etapa 10.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = 425 \cdot 0 + 5$

Etapa 10.2.2.1.2

Multiplique $425$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 5$

Etapa 10.2.2.2

Some $0$ e $5$ .

$f' (0) = 5$

Etapa 10.2.2.3

A resposta final é $5$ .

$5$

Etapa 10.3

Nenhum máximo ou mínimo local encontrado para $f (x) = \frac{10}{3} x^{3} \cdot \frac{51}{2} \cdot x^{2} + 5 x + 16$ .

Nenhum máximo ou mínimo local

Etapa 11