Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{4 e^{x}}{x^{4}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 e^{x}}{x^{4}}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{4}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{4}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{4}$ .

$4 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Etapa 1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

Etapa 1.3.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$4 \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$4 \frac{x^{4} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 \frac{x^{4} e^{x} - e^{x} (4 x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 1.5.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.2.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$4 \frac{x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

Etapa 1.5.2.2

Combine $4$ e $\frac{x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$ .

$\frac{4 (x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (x^{4} e^{x}) + 4 (- 4 e^{x} x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 1.6.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.2.1

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$\frac{4 x^{4} e^{x} - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

Etapa 1.6.2.2

Reordene os fatores em $4 x^{4} e^{x} - 16 e^{x} x^{3}$ .

$\frac{4 x^{4} e^{x} - 16 x^{3} e^{x}}{x^{8}}$

Etapa 1.6.3

Reordene os termos.

$\frac{4 e^{x} x^{4} - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

Etapa 1.6.4

Fatore $4 e^{x} x^{3}$ de $4 e^{x} x^{4} - 16 e^{x} x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.4.1

Fatore $4 e^{x} x^{3}$ de $4 e^{x} x^{4}$ .

$\frac{4 e^{x} x^{3} (x) - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

Etapa 1.6.4.2

Fatore $4 e^{x} x^{3}$ de $- 16 e^{x} x^{3}$ .

$\frac{4 e^{x} x^{3} (x) + 4 e^{x} x^{3} (- 4)}{x^{8}}$

Etapa 1.6.4.3

Fatore $4 e^{x} x^{3}$ de $4 e^{x} x^{3} (x) + 4 e^{x} x^{3} (- 4)$ .

$\frac{4 e^{x} x^{3} (x - 4)}{x^{8}}$

Etapa 1.6.5

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x^{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.5.1

Fatore $x^{3}$ de $4 e^{x} x^{3} (x - 4)$ .

$\frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{8}}$

Etapa 1.6.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.5.2.1

Fatore $x^{3}$ de $x^{8}$ .

$\frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{3} x^{5}}$

Etapa 1.6.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{3} x^{5}}$

Etapa 1.6.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x} (x - 4)}{x^{5}}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{e^{x} (x - 4)}{x^{5}})$

Etapa 2.2

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 4)) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{{(x^{5})}^{2}})$

Etapa 2.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{5})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 4)) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{5 \cdot 2}})$

Etapa 2.3.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 4)) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x - 4$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} \frac{d}{d x} (x - 4) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Etapa 2.5

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Etapa 2.5.3

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Etapa 2.5.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Etapa 2.5.4.2

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - e^{x} (x - 4) \frac{d}{d x} x^{5}}{x^{10}})$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - e^{x} (x - 4) (5 x^{4})}{x^{10}})$

Etapa 2.7.2

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.1

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4) x^{4}}{x^{10}})$

Etapa 2.7.2.2

Fatore $x^{4}$ de $x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4) x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.2.2.1

Fatore $x^{4}$ de $x^{5} (e^{x} + (x - 4) e^{x})$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x})) - 5 e^{x} (x - 4) x^{4}}{x^{10}})$

Etapa 2.7.2.2.2

Fatore $x^{4}$ de $- 5 e^{x} (x - 4) x^{4}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x})) + x^{4} (- 5 e^{x} (x - 4))}{x^{10}})$

Etapa 2.7.2.2.3

Fatore $x^{4}$ de $x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x})) + x^{4} (- 5 e^{x} (x - 4))$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{10}})$

Etapa 2.8

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Fatore $x^{4}$ de $x^{10}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{4} x^{6}})$

Etapa 2.8.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = 4 (\frac{x^{4} (x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{4} x^{6}})$

Etapa 2.8.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = 4 (\frac{x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4)}{x^{6}})$

Etapa 2.9

Combine $4$ e $\frac{x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4)}{x^{6}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (x (e^{x} + (x - 4) e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{6}}$

Etapa 2.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (x (e^{x} + x e^{x} - 4 e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{6}}$

Etapa 2.10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 4 e^{x}) - 5 e^{x} (x - 4))}{x^{6}}$

Etapa 2.10.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 4 e^{x}) - 5 e^{x} x - 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

Etapa 2.10.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{4 (x e^{x}) + 4 (x (x e^{x})) + 4 (x (- 4 e^{x})) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

Etapa 2.10.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.5.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.5.1.1.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 (x \cdot x e^{x}) + 4 (x (- 4 e^{x})) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

Etapa 2.10.5.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 (x^{2} e^{x}) + 4 (x (- 4 e^{x})) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

Etapa 2.10.5.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} + 4 (- 4 x e^{x}) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

Etapa 2.10.5.1.3

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 16 (x e^{x}) + 4 (- 5 e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

Etapa 2.10.5.1.4

Multiplique $- 5$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 16 x e^{x} - 20 (e^{x} x) + 4 (- 5 e^{x} \cdot - 4)}{x^{6}}$

Etapa 2.10.5.1.5

Multiplique $- 4$ por $- 5$ .

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 16 x e^{x} - 20 e^{x} x + 4 (20 e^{x})}{x^{6}}$

Etapa 2.10.5.1.6

Multiplique $20$ por $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 16 x e^{x} - 20 e^{x} x + 80 e^{x}}{x^{6}}$

Etapa 2.10.5.2

Subtraia $16 x e^{x}$ de $4 x e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} - 20 e^{x} x + 80 e^{x}}{x^{6}}$

Etapa 2.10.5.3

Subtraia $20 e^{x} x$ de $- 12 x e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.5.3.1

Mova $e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 12 x e^{x} - 20 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} + 80 e^{x}}{x^{6}}$

Etapa 2.10.5.3.2

Subtraia $20 x e^{x}$ de $- 12 x e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- 32 x e^{x} + 4 x^{2} e^{x} + 80 e^{x}}{x^{6}}$

Etapa 2.10.6

Reordene os termos.

$f'' (x) = \frac{- 32 e^{x} x + 4 e^{x} x^{2} + 80 e^{x}}{x^{6}}$

Etapa 2.10.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.7.1

Fatore $4 e^{x}$ de $- 32 e^{x} x + 4 e^{x} x^{2} + 80 e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.7.1.1

Fatore $4 e^{x}$ de $- 32 e^{x} x$ .

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x) + 4 e^{x} x^{2} + 80 e^{x}}{x^{6}}$

Etapa 2.10.7.1.2

Fatore $4 e^{x}$ de $4 e^{x} x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x) + 4 e^{x} (x^{2}) + 80 e^{x}}{x^{6}}$

Etapa 2.10.7.1.3

Fatore $4 e^{x}$ de $80 e^{x}$ .

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x) + 4 e^{x} (x^{2}) + 4 e^{x} (20)}{x^{6}}$

Etapa 2.10.7.1.4

Fatore $4 e^{x}$ de $4 e^{x} (- 8 x) + 4 e^{x} (x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x + x^{2}) + 4 e^{x} (20)}{x^{6}}$

Etapa 2.10.7.1.5

Fatore $4 e^{x}$ de $4 e^{x} (- 8 x + x^{2}) + 4 e^{x} (20)$ .

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (- 8 x + x^{2} + 20)}{x^{6}}$

Etapa 2.10.7.2

Reordene os termos.

$f'' (x) = \frac{4 e^{x} (x^{2} - 8 x + 20)}{x^{6}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4 e^{x}}{x^{4}}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{x^{4}}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{e^{x}}{x^{4}})$

Etapa 4.1.2

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} x^{4}}{{(x^{4})}^{2}})$

Etapa 4.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{4 \cdot 2}})$

Etapa 4.1.3.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} x^{4}}{x^{8}})$

Etapa 4.1.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} e^{x} - e^{x} (4 x^{3})}{x^{8}})$

Etapa 4.1.5.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.2.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3}}{x^{8}})$

Etapa 4.1.5.2.2

Combine $4$ e $\frac{x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} e^{x} - 4 e^{x} x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 4.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{4 (x^{4} e^{x}) + 4 (- 4 e^{x} x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 4.1.6.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.2.1

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{4} e^{x} - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

Etapa 4.1.6.2.2

Reordene os fatores em $4 x^{4} e^{x} - 16 e^{x} x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{4} e^{x} - 16 x^{3} e^{x}}{x^{8}}$

Etapa 4.1.6.3

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{4 e^{x} x^{4} - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

Etapa 4.1.6.4

Fatore $4 e^{x} x^{3}$ de $4 e^{x} x^{4} - 16 e^{x} x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.4.1

Fatore $4 e^{x} x^{3}$ de $4 e^{x} x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{4 e^{x} x^{3} (x) - 16 e^{x} x^{3}}{x^{8}}$

Etapa 4.1.6.4.2

Fatore $4 e^{x} x^{3}$ de $- 16 e^{x} x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 e^{x} x^{3} (x) + 4 e^{x} x^{3} (- 4)}{x^{8}}$

Etapa 4.1.6.4.3

Fatore $4 e^{x} x^{3}$ de $4 e^{x} x^{3} (x) + 4 e^{x} x^{3} (- 4)$ .

$f' (x) = \frac{4 e^{x} x^{3} (x - 4)}{x^{8}}$

Etapa 4.1.6.5

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x^{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.5.1

Fatore $x^{3}$ de $4 e^{x} x^{3} (x - 4)$ .

$f' (x) = \frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{8}}$

Etapa 4.1.6.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.6.5.2.1

Fatore $x^{3}$ de $x^{8}$ .

$f' (x) = \frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{3} x^{5}}$

Etapa 4.1.6.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{x^{3} (4 e^{x} (x - 4))}{x^{3} x^{5}}$

Etapa 4.1.6.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$ .

$\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$4 e^{x} (x - 4) = 0$

Etapa 5.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 4 = 0$

Etapa 5.3.2

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Etapa 5.3.2.2

Resolva $e^{x} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Etapa 5.3.2.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 5.3.2.2.3

Não há uma solução para $e^{x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 5.3.3

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 5.3.3.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 5.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $4 e^{x} (x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 4$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina o denominador em $\frac{4 e^{x} (x - 4)}{x^{5}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{5} = 0$

Etapa 6.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[5]{0}$

Etapa 6.2.2

Simplifique $\sqrt[5]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Etapa 6.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 4$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 4$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{4 e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20)}{{(4)}^{6}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Cancele o fator comum de $4$ e ${(4)}^{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Fatore $4$ de $4 e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20)$ .

$\frac{4 (e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20))}{{(4)}^{6}}$

Etapa 9.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.1

Fatore $4$ de ${(4)}^{6}$ .

$\frac{4 (e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20))}{4 \cdot 4^{5}}$

Etapa 9.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 (e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20))}{4 \cdot 4^{5}}$

Etapa 9.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{e^{4} ({(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 20)}{4^{5}}$

Etapa 9.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{e^{4} (16 - 8 \cdot 4 + 20)}{4^{5}}$

Etapa 9.2.2

Multiplique $- 8$ por $4$ .

$\frac{e^{4} (16 - 32 + 20)}{4^{5}}$

Etapa 9.2.3

Subtraia $32$ de $16$ .

$\frac{e^{4} (- 16 + 20)}{4^{5}}$

Etapa 9.2.4

Some $- 16$ e $20$ .

$\frac{e^{4} \cdot 4}{4^{5}}$

Etapa 9.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Eleve $4$ à potência de $5$ .

$\frac{e^{4} \cdot 4}{1024}$

Etapa 9.3.2

Cancele o fator comum de $4$ e $1024$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.1

Fatore $4$ de $e^{4} \cdot 4$ .

$\frac{4 \cdot e^{4}}{1024}$

Etapa 9.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.2.2.1

Fatore $4$ de $1024$ .

$\frac{4 \cdot e^{4}}{4 \cdot 256}$

Etapa 9.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot e^{4}}{4 \cdot 256}$

Etapa 9.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{e^{4}}{256}$

Etapa 10

$x = 4$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 4$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f (4) = \frac{4 e^{4}}{{(4)}^{4}}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Cancele o fator comum de $4$ e ${(4)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Fatore $4$ de $4 e^{4}$ .

$f (4) = \frac{4 (e^{4})}{{(4)}^{4}}$

Etapa 11.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.2.1

Fatore $4$ de ${(4)}^{4}$ .

$f (4) = \frac{4 (e^{4})}{4 \cdot 4^{3}}$

Etapa 11.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (4) = \frac{4 e^{4}}{4 \cdot 4^{3}}$

Etapa 11.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (4) = \frac{e^{4}}{4^{3}}$

Etapa 11.2.2

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$f (4) = \frac{e^{4}}{64}$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $\frac{e^{4}}{64}$ .

$y = \frac{e^{4}}{64}$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{4 e^{x}}{x^{4}}$ .

$(4, \frac{e^{4}}{64})$ é um mínimo local

Etapa 13