Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{4}{3} x^{3} - 12 x^{2} + 10 x + 45$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{4}{3} x^{3} - 12 x^{2} + 10 x + 45$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [45]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $\frac{4}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4}{3} x^{3}$ em relação a $x$ é $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{4}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Etapa 1.2.3

Combine $3$ e $\frac{4}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Etapa 1.2.4

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{12}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Etapa 1.2.5

Combine $\frac{12}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{12 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Etapa 1.2.6

Cancele o fator comum de $12$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Fatore $3$ de $12 x^{2}$ .

$\frac{3 (4 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Etapa 1.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Etapa 1.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (4 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Etapa 1.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Etapa 1.2.6.2.4

Divida $4 x^{2}$ por $1$ .

$4 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $- 12$ .

$4 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{2} - 24 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [45]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x^{2} - 24 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [45]$

Etapa 1.4.3

Multiplique $10$ por $1$ .

$4 x^{2} - 24 x + 10 + \frac{d}{d x} [45]$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Como $45$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $45$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{2} - 24 x + 10 + 0$

Etapa 1.5.2

Some $4 x^{2} - 24 x + 10$ e $0$ .

$4 x^{2} - 24 x + 10$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{2} - 24 x + 10$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (10)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (10)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (10)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$f'' (x) = 8 x + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (10)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 24 x$ em relação a $x$ é $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 8 x - 24 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (10)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 8 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (10)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 24$ por $1$ .

$f'' (x) = 8 x - 24 + \frac{d}{d x} (10)$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 8 x - 24 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $8 x - 24$ e $0$ .

$f'' (x) = 8 x - 24$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$4 x^{2} - 24 x + 10 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{4}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (45)$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3} x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $\frac{4}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4}{3} x^{3}$ em relação a $x$ é $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (45)$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = \frac{4}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (45)$

Etapa 4.1.2.3

Combine $3$ e $\frac{4}{3}$ .

$f' (x) = \frac{3 \cdot 4}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (45)$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique $3$ por $4$ .

$f' (x) = \frac{12}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (45)$

Etapa 4.1.2.5

Combine $\frac{12}{3}$ e $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{12 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (45)$

Etapa 4.1.2.6

Cancele o fator comum de $12$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.6.1

Fatore $3$ de $12 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{3 (4 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (45)$

Etapa 4.1.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.6.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$f' (x) = \frac{3 (4 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (45)$

Etapa 4.1.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{3 (4 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (45)$

Etapa 4.1.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{4 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (45)$

Etapa 4.1.2.6.2.4

Divida $4 x^{2}$ por $1$ .

$f' (x) = 4 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (45)$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (45)$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (45)$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 12$ .

$f' (x) = 4 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (45)$

Etapa 4.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 x$ em relação a $x$ é $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 x^{2} - 24 x + 10 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (45)$

Etapa 4.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 4 x^{2} - 24 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (45)$

Etapa 4.1.4.3

Multiplique $10$ por $1$ .

$f' (x) = 4 x^{2} - 24 x + 10 + \frac{d}{d x} (45)$

Etapa 4.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

Como $45$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $45$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 4 x^{2} - 24 x + 10 + 0$

Etapa 4.1.5.2

Some $4 x^{2} - 24 x + 10$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{2} - 24 x + 10$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{2} - 24 x + 10$ .

$4 x^{2} - 24 x + 10$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{2} - 24 x + 10 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{2} - 24 x + 10 = 0$

Etapa 5.2

Fatore $2$ de $4 x^{2} - 24 x + 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $2$ de $4 x^{2}$ .

$2 (2 x^{2}) - 24 x + 10 = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore $2$ de $- 24 x$ .

$2 (2 x^{2}) + 2 (- 12 x) + 10 = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore $2$ de $10$ .

$2 (2 x^{2}) + 2 (- 12 x) + 2 (5) = 0$

Etapa 5.2.4

Fatore $2$ de $2 (2 x^{2}) + 2 (- 12 x)$ .

$2 (2 x^{2} - 12 x) + 2 (5) = 0$

Etapa 5.2.5

Fatore $2$ de $2 (2 x^{2} - 12 x) + 2 (5)$ .

$2 (2 x^{2} - 12 x + 5) = 0$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $2 (2 x^{2} - 12 x + 5) = 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $2 (2 x^{2} - 12 x + 5) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (2 x^{2} - 12 x + 5)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 x^{2} - 12 x + 5)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $2 x^{2} - 12 x + 5$ por $1$ .

$2 x^{2} - 12 x + 5 = \frac{0}{2}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$2 x^{2} - 12 x + 5 = 0$

Etapa 5.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5.5

Substitua os valores $a = 2$ , $b = - 12$ e $c = 5$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 5)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.1

Eleve $- 12$ à potência de $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.6.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $5$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 40}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.6.1.3

Subtraia $40$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{104}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.6.1.4

Reescreva $104$ como $2^{2} \cdot 26$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.4.1

Fatore $4$ de $104$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (26)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.6.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 26}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{26}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{26}}{4}$

Etapa 5.6.3

Simplifique $\frac{12 \pm 2 \sqrt{26}}{4}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{26}}{2}$

Etapa 5.7

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.1.1

Eleve $- 12$ à potência de $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.7.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.7.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $5$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 40}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.7.1.3

Subtraia $40$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{104}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.7.1.4

Reescreva $104$ como $2^{2} \cdot 26$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.1.4.1

Fatore $4$ de $104$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (26)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.7.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 26}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.7.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{26}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.7.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{26}}{4}$

Etapa 5.7.3

Simplifique $\frac{12 \pm 2 \sqrt{26}}{4}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{26}}{2}$

Etapa 5.7.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{6 + \sqrt{26}}{2}$

Etapa 5.8

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.1.1

Eleve $- 12$ à potência de $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.8.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 2 \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.8.1.2.2

Multiplique $- 8$ por $5$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 40}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.8.1.3

Subtraia $40$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{104}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.8.1.4

Reescreva $104$ como $2^{2} \cdot 26$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.1.4.1

Fatore $4$ de $104$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4 (26)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.8.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 26}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.8.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{26}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.8.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{12 \pm 2 \sqrt{26}}{4}$

Etapa 5.8.3

Simplifique $\frac{12 \pm 2 \sqrt{26}}{4}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{26}}{2}$

Etapa 5.8.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{6 - \sqrt{26}}{2}$

Etapa 5.9

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{6 + \sqrt{26}}{2}, \frac{6 - \sqrt{26}}{2}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{6 + \sqrt{26}}{2}, \frac{6 - \sqrt{26}}{2}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{6 + \sqrt{26}}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$8 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) - 24$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.1

Fatore $2$ de $8$ .

$2 (4) \frac{6 + \sqrt{26}}{2} - 24$

Etapa 9.1.1.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 4 \frac{6 + \sqrt{26}}{2} - 24$

Etapa 9.1.1.3

Reescreva a expressão.

$4 (6 + \sqrt{26}) - 24$

Etapa 9.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \cdot 6 + 4 \sqrt{26} - 24$

Etapa 9.1.3

Multiplique $4$ por $6$ .

$24 + 4 \sqrt{26} - 24$

Etapa 9.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Subtraia $24$ de $24$ .

$0 + 4 \sqrt{26}$

Etapa 9.2.2

Some $0$ e $4 \sqrt{26}$ .

$4 \sqrt{26}$

Etapa 10

$x = \frac{6 + \sqrt{26}}{2}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{6 + \sqrt{26}}{2}$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{6 + \sqrt{26}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{6 + \sqrt{26}}{2}$ na expressão.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{4}{3} \cdot {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{3} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{6 + \sqrt{26}}{2}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(6 + \sqrt{26})}^{3}}{2^{3}} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.2

Combine.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{4 {(6 + \sqrt{26})}^{3}}{3 \cdot 2^{3}} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{4 {(6 + \sqrt{26})}^{3}}{3 \cdot 8} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.4

Multiplique $3$ por $8$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{4 {(6 + \sqrt{26})}^{3}}{24} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.5

Cancele o fator comum de $4$ e $24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.5.1

Fatore $4$ de $4 {(6 + \sqrt{26})}^{3}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{4 ({(6 + \sqrt{26})}^{3})}{24} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.5.2.1

Fatore $4$ de $24$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{4 {(6 + \sqrt{26})}^{3}}{4 \cdot 6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{4 {(6 + \sqrt{26})}^{3}}{4 \cdot 6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{{(6 + \sqrt{26})}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.6

Use o teorema binomial.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{6^{3} + 3 \cdot (6^{2} \sqrt{26}) + 3 \cdot (6 {\sqrt{26}}^{2}) + {\sqrt{26}}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.7.1

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 + 3 \cdot (6^{2} \sqrt{26}) + 3 \cdot (6 {\sqrt{26}}^{2}) + {\sqrt{26}}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.7.2

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 + 3 \cdot (36 \sqrt{26}) + 3 \cdot (6 {\sqrt{26}}^{2}) + {\sqrt{26}}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.7.3

Multiplique $3$ por $36$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 + 108 \sqrt{26} + 3 \cdot (6 {\sqrt{26}}^{2}) + {\sqrt{26}}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.7.4

Multiplique $3$ por $6$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 + 108 \sqrt{26} + 18 {\sqrt{26}}^{2} + {\sqrt{26}}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.7.5

Reescreva ${\sqrt{26}}^{2}$ como $26$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.7.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{26}$ como $26^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 + 108 \sqrt{26} + 18 {(26^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{26}}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.7.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 + 108 \sqrt{26} + 18 \cdot 26^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{26}}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.7.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 + 108 \sqrt{26} + 18 \cdot 26^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{26}}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.7.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.7.5.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 + 108 \sqrt{26} + 18 \cdot 26^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{26}}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.7.5.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 + 108 \sqrt{26} + 18 \cdot 26 + {\sqrt{26}}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.7.5.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 + 108 \sqrt{26} + 18 \cdot 26 + {\sqrt{26}}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.7.6

Multiplique $18$ por $26$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 + 108 \sqrt{26} + 468 + {\sqrt{26}}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.7.7

Reescreva ${\sqrt{26}}^{3}$ como $\sqrt{26^{3}}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 + 108 \sqrt{26} + 468 + \sqrt{26^{3}}}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.7.8

Eleve $26$ à potência de $3$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 + 108 \sqrt{26} + 468 + \sqrt{17576}}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.7.9

Reescreva $17576$ como $26^{2} \cdot 26$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.7.9.1

Fatore $676$ de $17576$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 + 108 \sqrt{26} + 468 + \sqrt{676 (26)}}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.7.9.2

Reescreva $676$ como $26^{2}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 + 108 \sqrt{26} + 468 + \sqrt{26^{2} \cdot 26}}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.7.10

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 + 108 \sqrt{26} + 468 + 26 \sqrt{26}}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.8

Some $216$ e $468$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{684 + 108 \sqrt{26} + 26 \sqrt{26}}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.9

Some $108 \sqrt{26}$ e $26 \sqrt{26}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{684 + 134 \sqrt{26}}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.10

Cancele o fator comum de $684 + 134 \sqrt{26}$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.10.1

Fatore $2$ de $684$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{2 (342) + 134 \sqrt{26}}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.10.2

Fatore $2$ de $134 \sqrt{26}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{2 (342) + 2 (67 \sqrt{26})}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.10.3

Fatore $2$ de $2 (342) + 2 (67 \sqrt{26})$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{2 (342 + 67 \sqrt{26})}{6} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.10.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.10.4.1

Fatore $2$ de $6$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{2 (342 + 67 \sqrt{26})}{2 \cdot 3} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.10.4.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{2 (342 + 67 \sqrt{26})}{2 \cdot 3} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.10.4.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 12 {(\frac{6 + \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.11

Aplique a regra do produto a $\frac{6 + \sqrt{26}}{2}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 12 \frac{{(6 + \sqrt{26})}^{2}}{2^{2}} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.12

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 12 \frac{{(6 + \sqrt{26})}^{2}}{4} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.13

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 11.2.1.13.1

Fatore $4$ de $- 12$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} + 4 (- 3) (\frac{{(6 + \sqrt{26})}^{2}}{4}) + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.13.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} + 4 \cdot (- 3 \frac{{(6 + \sqrt{26})}^{2}}{4}) + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.13.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 3 {(6 + \sqrt{26})}^{2} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.14

Reescreva ${(6 + \sqrt{26})}^{2}$ como $(6 + \sqrt{26}) (6 + \sqrt{26})$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 3 ((6 + \sqrt{26}) (6 + \sqrt{26})) + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.15

Expanda $(6 + \sqrt{26}) (6 + \sqrt{26})$ usando o método FOIL.

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Etapa 11.2.1.15.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (6 (6 + \sqrt{26}) + \sqrt{26} (6 + \sqrt{26})) + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.15.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (6 \cdot 6 + 6 \sqrt{26} + \sqrt{26} (6 + \sqrt{26})) + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.15.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (6 \cdot 6 + 6 \sqrt{26} + \sqrt{26} \cdot 6 + \sqrt{26} \sqrt{26}) + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.16

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 11.2.1.16.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.16.1.1

Multiplique $6$ por $6$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (36 + 6 \sqrt{26} + \sqrt{26} \cdot 6 + \sqrt{26} \sqrt{26}) + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.16.1.2

Mova $6$ para a esquerda de $\sqrt{26}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (36 + 6 \sqrt{26} + 6 \cdot \sqrt{26} + \sqrt{26} \sqrt{26}) + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.16.1.3

Combine usando a regra do produto para radicais.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (36 + 6 \sqrt{26} + 6 \sqrt{26} + \sqrt{26 \cdot 26}) + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.16.1.4

Multiplique $26$ por $26$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (36 + 6 \sqrt{26} + 6 \sqrt{26} + \sqrt{676}) + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.16.1.5

Reescreva $676$ como $26^{2}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (36 + 6 \sqrt{26} + 6 \sqrt{26} + \sqrt{26^{2}}) + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.16.1.6

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (36 + 6 \sqrt{26} + 6 \sqrt{26} + 26) + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.16.2

Some $36$ e $26$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (62 + 6 \sqrt{26} + 6 \sqrt{26}) + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.16.3

Some $6 \sqrt{26}$ e $6 \sqrt{26}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (62 + 12 \sqrt{26}) + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.17

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 3 \cdot 62 - 3 (12 \sqrt{26}) + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.18

Multiplique $- 3$ por $62$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 186 - 3 (12 \sqrt{26}) + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.19

Multiplique $12$ por $- 3$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 186 - 36 \sqrt{26} + 10 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.20

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 11.2.1.20.1

Fatore $2$ de $10$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 186 - 36 \sqrt{26} + 2 (5) (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 11.2.1.20.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 186 - 36 \sqrt{26} + 2 \cdot (5 (\frac{6 + \sqrt{26}}{2})) + 45$

Etapa 11.2.1.20.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 186 - 36 \sqrt{26} + 5 (6 + \sqrt{26}) + 45$

Etapa 11.2.1.21

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 186 - 36 \sqrt{26} + 5 \cdot 6 + 5 \sqrt{26} + 45$

Etapa 11.2.1.22

Multiplique $5$ por $6$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 186 - 36 \sqrt{26} + 30 + 5 \sqrt{26} + 45$

Etapa 11.2.2

Para escrever $- 186$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} - 186 \cdot \frac{3}{3} - 36 \sqrt{26} + 30 + 5 \sqrt{26} + 45$

Etapa 11.2.3

Combine $- 186$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26}}{3} + \frac{- 186 \cdot 3}{3} - 36 \sqrt{26} + 30 + 5 \sqrt{26} + 45$

Etapa 11.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.4.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26} - 186 \cdot 3}{3} - 36 \sqrt{26} + 30 + 5 \sqrt{26} + 45$

Etapa 11.2.4.2

Multiplique $- 186$ por $3$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 + 67 \sqrt{26} - 558}{3} - 36 \sqrt{26} + 30 + 5 \sqrt{26} + 45$

Etapa 11.2.4.3

Subtraia $558$ de $342$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 216 + 67 \sqrt{26}}{3} - 36 \sqrt{26} + 30 + 5 \sqrt{26} + 45$

Etapa 11.2.5

Para escrever $- 36 \sqrt{26}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 216 + 67 \sqrt{26}}{3} - 36 \sqrt{26} \cdot \frac{3}{3} + 30 + 5 \sqrt{26} + 45$

Etapa 11.2.6

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.6.1

Combine $- 36 \sqrt{26}$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 216 + 67 \sqrt{26}}{3} + \frac{- 36 \sqrt{26} \cdot 3}{3} + 30 + 5 \sqrt{26} + 45$

Etapa 11.2.6.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 216 + 67 \sqrt{26} - 36 \sqrt{26} \cdot 3}{3} + 30 + 5 \sqrt{26} + 45$

Etapa 11.2.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.7.1

Multiplique $3$ por $- 36$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 216 + 67 \sqrt{26} - 108 \sqrt{26}}{3} + 30 + 5 \sqrt{26} + 45$

Etapa 11.2.7.2

Subtraia $108 \sqrt{26}$ de $67 \sqrt{26}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 216 - 41 \sqrt{26}}{3} + 30 + 5 \sqrt{26} + 45$

Etapa 11.2.8

Para escrever $30$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 216 - 41 \sqrt{26}}{3} + 30 \cdot \frac{3}{3} + 5 \sqrt{26} + 45$

Etapa 11.2.9

Combine $30$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 216 - 41 \sqrt{26}}{3} + \frac{30 \cdot 3}{3} + 5 \sqrt{26} + 45$

Etapa 11.2.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 11.2.10.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 216 - 41 \sqrt{26} + 30 \cdot 3}{3} + 5 \sqrt{26} + 45$

Etapa 11.2.10.2

Multiplique $30$ por $3$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 216 - 41 \sqrt{26} + 90}{3} + 5 \sqrt{26} + 45$

Etapa 11.2.10.3

Some $- 216$ e $90$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 126 - 41 \sqrt{26}}{3} + 5 \sqrt{26} + 45$

Etapa 11.2.11

Para escrever $5 \sqrt{26}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 126 - 41 \sqrt{26}}{3} + 5 \sqrt{26} \cdot \frac{3}{3} + 45$

Etapa 11.2.12

Combine frações.

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Etapa 11.2.12.1

Combine $5 \sqrt{26}$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 126 - 41 \sqrt{26}}{3} + \frac{5 \sqrt{26} \cdot 3}{3} + 45$

Etapa 11.2.12.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 126 - 41 \sqrt{26} + 5 \sqrt{26} \cdot 3}{3} + 45$

Etapa 11.2.13

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.13.1

Multiplique $3$ por $5$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 126 - 41 \sqrt{26} + 15 \sqrt{26}}{3} + 45$

Etapa 11.2.13.2

Some $- 41 \sqrt{26}$ e $15 \sqrt{26}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 126 - 26 \sqrt{26}}{3} + 45$

Etapa 11.2.14

Para escrever $45$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 126 - 26 \sqrt{26}}{3} + 45 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 11.2.15

Combine frações.

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Etapa 11.2.15.1

Combine $45$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 126 - 26 \sqrt{26}}{3} + \frac{45 \cdot 3}{3}$

Etapa 11.2.15.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 126 - 26 \sqrt{26} + 45 \cdot 3}{3}$

Etapa 11.2.16

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.16.1

Multiplique $45$ por $3$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 126 - 26 \sqrt{26} + 135}{3}$

Etapa 11.2.16.2

Some $- 126$ e $135$ .

$f (\frac{6 + \sqrt{26}}{2}) = \frac{9 - 26 \sqrt{26}}{3}$

Etapa 11.2.17

A resposta final é $\frac{9 - 26 \sqrt{26}}{3}$ .

$y = \frac{9 - 26 \sqrt{26}}{3}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{6 - \sqrt{26}}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$8 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) - 24$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 13.1.1.1

Fatore $2$ de $8$ .

$2 (4) \frac{6 - \sqrt{26}}{2} - 24$

Etapa 13.1.1.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 4 \frac{6 - \sqrt{26}}{2} - 24$

Etapa 13.1.1.3

Reescreva a expressão.

$4 (6 - \sqrt{26}) - 24$

Etapa 13.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \cdot 6 + 4 (- \sqrt{26}) - 24$

Etapa 13.1.3

Multiplique $4$ por $6$ .

$24 + 4 (- \sqrt{26}) - 24$

Etapa 13.1.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$24 - 4 \sqrt{26} - 24$

Etapa 13.2

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 13.2.1

Subtraia $24$ de $24$ .

$0 - 4 \sqrt{26}$

Etapa 13.2.2

Subtraia $4 \sqrt{26}$ de $0$ .

$- 4 \sqrt{26}$

Etapa 14

$x = \frac{6 - \sqrt{26}}{2}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{6 - \sqrt{26}}{2}$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = \frac{6 - \sqrt{26}}{2}$ .

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Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{6 - \sqrt{26}}{2}$ na expressão.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{4}{3} \cdot {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{3} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{6 - \sqrt{26}}{2}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{4}{3} \cdot \frac{{(6 - \sqrt{26})}^{3}}{2^{3}} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.2

Combine.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{4 {(6 - \sqrt{26})}^{3}}{3 \cdot 2^{3}} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{4 {(6 - \sqrt{26})}^{3}}{3 \cdot 8} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.4

Multiplique $3$ por $8$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{4 {(6 - \sqrt{26})}^{3}}{24} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.5

Cancele o fator comum de $4$ e $24$ .

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Etapa 15.2.1.5.1

Fatore $4$ de $4 {(6 - \sqrt{26})}^{3}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{4 ({(6 - \sqrt{26})}^{3})}{24} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 15.2.1.5.2.1

Fatore $4$ de $24$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{4 {(6 - \sqrt{26})}^{3}}{4 \cdot 6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{4 {(6 - \sqrt{26})}^{3}}{4 \cdot 6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{{(6 - \sqrt{26})}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.6

Use o teorema binomial.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{6^{3} + 3 \cdot (6^{2} (- \sqrt{26})) + 3 \cdot (6 {(- \sqrt{26})}^{2}) + {(- \sqrt{26})}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.7.1

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 + 3 \cdot (6^{2} (- \sqrt{26})) + 3 \cdot (6 {(- \sqrt{26})}^{2}) + {(- \sqrt{26})}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.7.2

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 + 3 \cdot (36 (- \sqrt{26})) + 3 \cdot (6 {(- \sqrt{26})}^{2}) + {(- \sqrt{26})}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.7.3

Multiplique $3$ por $36$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 + 108 (- \sqrt{26}) + 3 \cdot (6 {(- \sqrt{26})}^{2}) + {(- \sqrt{26})}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.7.4

Multiplique $- 1$ por $108$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 - 108 \sqrt{26} + 3 \cdot (6 {(- \sqrt{26})}^{2}) + {(- \sqrt{26})}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.7.5

Multiplique $3$ por $6$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 - 108 \sqrt{26} + 18 {(- \sqrt{26})}^{2} + {(- \sqrt{26})}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.7.6

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{26}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 - 108 \sqrt{26} + 18 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{26}}^{2}) + {(- \sqrt{26})}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.7.7

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 - 108 \sqrt{26} + 18 (1 {\sqrt{26}}^{2}) + {(- \sqrt{26})}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.7.8

Multiplique ${\sqrt{26}}^{2}$ por $1$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 - 108 \sqrt{26} + 18 {\sqrt{26}}^{2} + {(- \sqrt{26})}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.7.9

Reescreva ${\sqrt{26}}^{2}$ como $26$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.7.9.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{26}$ como $26^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 - 108 \sqrt{26} + 18 {(26^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{26})}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.7.9.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 - 108 \sqrt{26} + 18 \cdot 26^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{26})}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.7.9.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 - 108 \sqrt{26} + 18 \cdot 26^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{26})}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.7.9.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.7.9.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 - 108 \sqrt{26} + 18 \cdot 26^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{26})}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.7.9.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 - 108 \sqrt{26} + 18 \cdot 26 + {(- \sqrt{26})}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.7.9.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 - 108 \sqrt{26} + 18 \cdot 26 + {(- \sqrt{26})}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.7.10

Multiplique $18$ por $26$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 - 108 \sqrt{26} + 468 + {(- \sqrt{26})}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.7.11

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{26}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 - 108 \sqrt{26} + 468 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{26}}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.7.12

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 - 108 \sqrt{26} + 468 - {\sqrt{26}}^{3}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.7.13

Reescreva ${\sqrt{26}}^{3}$ como $\sqrt{26^{3}}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 - 108 \sqrt{26} + 468 - \sqrt{26^{3}}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.7.14

Eleve $26$ à potência de $3$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 - 108 \sqrt{26} + 468 - \sqrt{17576}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.7.15

Reescreva $17576$ como $26^{2} \cdot 26$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.7.15.1

Fatore $676$ de $17576$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 - 108 \sqrt{26} + 468 - \sqrt{676 (26)}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.7.15.2

Reescreva $676$ como $26^{2}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 - 108 \sqrt{26} + 468 - \sqrt{26^{2} \cdot 26}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.7.16

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 - 108 \sqrt{26} + 468 - (26 \sqrt{26})}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.7.17

Multiplique $26$ por $- 1$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{216 - 108 \sqrt{26} + 468 - 26 \sqrt{26}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.8

Some $216$ e $468$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{684 - 108 \sqrt{26} - 26 \sqrt{26}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.9

Subtraia $26 \sqrt{26}$ de $- 108 \sqrt{26}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{684 - 134 \sqrt{26}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.10

Cancele o fator comum de $684 - 134 \sqrt{26}$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.10.1

Fatore $2$ de $684$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{2 (342) - 134 \sqrt{26}}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.10.2

Fatore $2$ de $- 134 \sqrt{26}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{2 (342) + 2 (- 67 \sqrt{26})}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.10.3

Fatore $2$ de $2 (342) + 2 (- 67 \sqrt{26})$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{2 (342 - 67 \sqrt{26})}{6} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.10.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 15.2.1.10.4.1

Fatore $2$ de $6$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{2 (342 - 67 \sqrt{26})}{2 \cdot 3} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.10.4.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{2 (342 - 67 \sqrt{26})}{2 \cdot 3} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.10.4.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 12 {(\frac{6 - \sqrt{26}}{2})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.11

Aplique a regra do produto a $\frac{6 - \sqrt{26}}{2}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 12 \frac{{(6 - \sqrt{26})}^{2}}{2^{2}} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.12

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 12 \frac{{(6 - \sqrt{26})}^{2}}{4} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.13

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 15.2.1.13.1

Fatore $4$ de $- 12$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} + 4 (- 3) (\frac{{(6 - \sqrt{26})}^{2}}{4}) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.13.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} + 4 \cdot (- 3 \frac{{(6 - \sqrt{26})}^{2}}{4}) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.13.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 {(6 - \sqrt{26})}^{2} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.14

Reescreva ${(6 - \sqrt{26})}^{2}$ como $(6 - \sqrt{26}) (6 - \sqrt{26})$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 ((6 - \sqrt{26}) (6 - \sqrt{26})) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.15

Expanda $(6 - \sqrt{26}) (6 - \sqrt{26})$ usando o método FOIL.

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Etapa 15.2.1.15.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (6 (6 - \sqrt{26}) - \sqrt{26} (6 - \sqrt{26})) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.15.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (6 \cdot 6 + 6 (- \sqrt{26}) - \sqrt{26} (6 - \sqrt{26})) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.15.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (6 \cdot 6 + 6 (- \sqrt{26}) - \sqrt{26} \cdot 6 - \sqrt{26} (- \sqrt{26})) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.16

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 15.2.1.16.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.2.1.16.1.1

Multiplique $6$ por $6$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (36 + 6 (- \sqrt{26}) - \sqrt{26} \cdot 6 - \sqrt{26} (- \sqrt{26})) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.16.1.2

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (36 - 6 \sqrt{26} - \sqrt{26} \cdot 6 - \sqrt{26} (- \sqrt{26})) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.16.1.3

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (36 - 6 \sqrt{26} - 6 \sqrt{26} - \sqrt{26} (- \sqrt{26})) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.16.1.4

Multiplique $- \sqrt{26} (- \sqrt{26})$ .

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Etapa 15.2.1.16.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (36 - 6 \sqrt{26} - 6 \sqrt{26} + 1 \sqrt{26} \sqrt{26}) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.16.1.4.2

Multiplique $\sqrt{26}$ por $1$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (36 - 6 \sqrt{26} - 6 \sqrt{26} + \sqrt{26} \sqrt{26}) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.16.1.4.3

Eleve $\sqrt{26}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (36 - 6 \sqrt{26} - 6 \sqrt{26} + \sqrt{26} \sqrt{26}) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.16.1.4.4

Eleve $\sqrt{26}$ à potência de $1$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (36 - 6 \sqrt{26} - 6 \sqrt{26} + \sqrt{26} \sqrt{26}) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.16.1.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (36 - 6 \sqrt{26} - 6 \sqrt{26} + {\sqrt{26}}^{1 + 1}) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.16.1.4.6

Some $1$ e $1$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (36 - 6 \sqrt{26} - 6 \sqrt{26} + {\sqrt{26}}^{2}) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.16.1.5

Reescreva ${\sqrt{26}}^{2}$ como $26$ .

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Etapa 15.2.1.16.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{26}$ como $26^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (36 - 6 \sqrt{26} - 6 \sqrt{26} + {(26^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.16.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (36 - 6 \sqrt{26} - 6 \sqrt{26} + 26^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.16.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (36 - 6 \sqrt{26} - 6 \sqrt{26} + 26^{\frac{2}{2}}) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.16.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 15.2.1.16.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (36 - 6 \sqrt{26} - 6 \sqrt{26} + 26^{\frac{2}{2}}) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.16.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (36 - 6 \sqrt{26} - 6 \sqrt{26} + 26) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.16.1.5.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (36 - 6 \sqrt{26} - 6 \sqrt{26} + 26) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.16.2

Some $36$ e $26$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (62 - 6 \sqrt{26} - 6 \sqrt{26}) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.16.3

Subtraia $6 \sqrt{26}$ de $- 6 \sqrt{26}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 (62 - 12 \sqrt{26}) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.17

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 3 \cdot 62 - 3 (- 12 \sqrt{26}) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.18

Multiplique $- 3$ por $62$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 186 - 3 (- 12 \sqrt{26}) + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.19

Multiplique $- 12$ por $- 3$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 186 + 36 \sqrt{26} + 10 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.20

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 15.2.1.20.1

Fatore $2$ de $10$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 186 + 36 \sqrt{26} + 2 (5) (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) + 45$

Etapa 15.2.1.20.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 186 + 36 \sqrt{26} + 2 \cdot (5 (\frac{6 - \sqrt{26}}{2})) + 45$

Etapa 15.2.1.20.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 186 + 36 \sqrt{26} + 5 (6 - \sqrt{26}) + 45$

Etapa 15.2.1.21

Aplique a propriedade distributiva.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 186 + 36 \sqrt{26} + 5 \cdot 6 + 5 (- \sqrt{26}) + 45$

Etapa 15.2.1.22

Multiplique $5$ por $6$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 186 + 36 \sqrt{26} + 30 + 5 (- \sqrt{26}) + 45$

Etapa 15.2.1.23

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 186 + 36 \sqrt{26} + 30 - 5 \sqrt{26} + 45$

Etapa 15.2.2

Para escrever $- 186$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} - 186 \cdot \frac{3}{3} + 36 \sqrt{26} + 30 - 5 \sqrt{26} + 45$

Etapa 15.2.3

Combine $- 186$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26}}{3} + \frac{- 186 \cdot 3}{3} + 36 \sqrt{26} + 30 - 5 \sqrt{26} + 45$

Etapa 15.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 15.2.4.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26} - 186 \cdot 3}{3} + 36 \sqrt{26} + 30 - 5 \sqrt{26} + 45$

Etapa 15.2.4.2

Multiplique $- 186$ por $3$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{342 - 67 \sqrt{26} - 558}{3} + 36 \sqrt{26} + 30 - 5 \sqrt{26} + 45$

Etapa 15.2.4.3

Subtraia $558$ de $342$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 216 - 67 \sqrt{26}}{3} + 36 \sqrt{26} + 30 - 5 \sqrt{26} + 45$

Etapa 15.2.5

Para escrever $36 \sqrt{26}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 216 - 67 \sqrt{26}}{3} + 36 \sqrt{26} \cdot \frac{3}{3} + 30 - 5 \sqrt{26} + 45$

Etapa 15.2.6

Combine frações.

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Etapa 15.2.6.1

Combine $36 \sqrt{26}$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 216 - 67 \sqrt{26}}{3} + \frac{36 \sqrt{26} \cdot 3}{3} + 30 - 5 \sqrt{26} + 45$

Etapa 15.2.6.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 216 - 67 \sqrt{26} + 36 \sqrt{26} \cdot 3}{3} + 30 - 5 \sqrt{26} + 45$

Etapa 15.2.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 15.2.7.1

Multiplique $3$ por $36$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 216 - 67 \sqrt{26} + 108 \sqrt{26}}{3} + 30 - 5 \sqrt{26} + 45$

Etapa 15.2.7.2

Some $- 67 \sqrt{26}$ e $108 \sqrt{26}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 216 + 41 \sqrt{26}}{3} + 30 - 5 \sqrt{26} + 45$

Etapa 15.2.8

Para escrever $30$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 216 + 41 \sqrt{26}}{3} + 30 \cdot \frac{3}{3} - 5 \sqrt{26} + 45$

Etapa 15.2.9

Combine $30$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 216 + 41 \sqrt{26}}{3} + \frac{30 \cdot 3}{3} - 5 \sqrt{26} + 45$

Etapa 15.2.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 15.2.10.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 216 + 41 \sqrt{26} + 30 \cdot 3}{3} - 5 \sqrt{26} + 45$

Etapa 15.2.10.2

Multiplique $30$ por $3$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 216 + 41 \sqrt{26} + 90}{3} - 5 \sqrt{26} + 45$

Etapa 15.2.10.3

Some $- 216$ e $90$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 126 + 41 \sqrt{26}}{3} - 5 \sqrt{26} + 45$

Etapa 15.2.11

Para escrever $- 5 \sqrt{26}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 126 + 41 \sqrt{26}}{3} - 5 \sqrt{26} \cdot \frac{3}{3} + 45$

Etapa 15.2.12

Combine frações.

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Etapa 15.2.12.1

Combine $- 5 \sqrt{26}$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 126 + 41 \sqrt{26}}{3} + \frac{- 5 \sqrt{26} \cdot 3}{3} + 45$

Etapa 15.2.12.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 126 + 41 \sqrt{26} - 5 \sqrt{26} \cdot 3}{3} + 45$

Etapa 15.2.13

Simplifique o numerador.

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Etapa 15.2.13.1

Multiplique $3$ por $- 5$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 126 + 41 \sqrt{26} - 15 \sqrt{26}}{3} + 45$

Etapa 15.2.13.2

Subtraia $15 \sqrt{26}$ de $41 \sqrt{26}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 126 + 26 \sqrt{26}}{3} + 45$

Etapa 15.2.14

Para escrever $45$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 126 + 26 \sqrt{26}}{3} + 45 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 15.2.15

Combine frações.

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Etapa 15.2.15.1

Combine $45$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 126 + 26 \sqrt{26}}{3} + \frac{45 \cdot 3}{3}$

Etapa 15.2.15.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 126 + 26 \sqrt{26} + 45 \cdot 3}{3}$

Etapa 15.2.16

Simplifique o numerador.

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Etapa 15.2.16.1

Multiplique $45$ por $3$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{- 126 + 26 \sqrt{26} + 135}{3}$

Etapa 15.2.16.2

Some $- 126$ e $135$ .

$f (\frac{6 - \sqrt{26}}{2}) = \frac{9 + 26 \sqrt{26}}{3}$

Etapa 15.2.17

A resposta final é $\frac{9 + 26 \sqrt{26}}{3}$ .

$y = \frac{9 + 26 \sqrt{26}}{3}$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{4}{3} x^{3} - 12 x^{2} + 10 x + 45$ .

$(\frac{6 + \sqrt{26}}{2}, \frac{9 - 26 \sqrt{26}}{3})$ é um mínimo local

$(\frac{6 - \sqrt{26}}{2}, \frac{9 + 26 \sqrt{26}}{3})$ é um máximo local

Etapa 17