Cálculo Exemplos

$f (x) = | x - 3 |$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = | x |$ e $g (x) = x - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 3$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x - 3]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $| u |$ em relação a $u$ é $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 3$ .

$\frac{x - 3}{| x - 3 |} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{x - 3}{| x - 3 |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x - 3}{| x - 3 |} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Etapa 1.2.3

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x - 3}{| x - 3 |} (1 + 0)$

Etapa 1.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot 1$

Etapa 1.2.4.2

Multiplique $\frac{x - 3}{| x - 3 |}$ por $1$ .

$\frac{x - 3}{| x - 3 |}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x - 3$ e $g (x) = | x - 3 |$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | \frac{d}{d x} (x - 3) - (x - 3) \frac{d}{d x} | x - 3 |}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x - 3) \frac{d}{d x} | x - 3 |}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | (1 + \frac{d}{d x} (- 3)) - (x - 3) \frac{d}{d x} | x - 3 |}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.2.3

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} | x - 3 |}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} | x - 3 |}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.2.4.2

Multiplique $| x - 3 |$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) \frac{d}{d x} | x - 3 |}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = | x |$ e $g (x) = x - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 3$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) (\frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (x - 3))}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.3.2

A derivada de $| u |$ em relação a $u$ é $\frac{u}{| u |}$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) (\frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (x - 3))}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 3$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) (\frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot \frac{d}{d x} (x - 3))}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) (\frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)))}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) (\frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 3)))}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.4.3

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) (\frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot (1 + 0))}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.4.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) (\frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot 1)}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.4.4.2

Multiplique $\frac{x - 3}{| x - 3 |}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - (x - 3) \frac{x - 3}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + (- x + 3) (\frac{x - 3}{| x - 3 |})}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + (- x + 3) (\frac{x - 3}{| x - 3 |})}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.1.2

Multiplique $- x + 3$ por $\frac{x - 3}{| x - 3 |}$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{(- x + 3) (x - 3)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.1.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1.3.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{(- (x) + 3) (x - 3)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.1.3.2

Reescreva $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{(- (x) - 1 \cdot - 3) (x - 3)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.1.3.3

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{- (x - 3) (x - 3)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.1.3.4

Reescreva $- (x - 3)$ como $- 1 (x - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{- 1 (x - 3) (x - 3)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.1.3.5

Eleve $x - 3$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{- 1 ((x - 3) (x - 3))}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.1.3.6

Eleve $x - 3$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{- 1 ((x - 3) (x - 3))}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.1.3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{- 1 {(x - 3)}^{1 + 1}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.1.3.8

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | + \frac{- 1 {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{| x - 3 | - \frac{{(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.2

Para escrever $| x - 3 |$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{| x - 3 |}{| x - 3 |}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x - 3 | | x - 3 |}{| x - 3 |} - \frac{{(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x - 3 | | x - 3 | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.4.1

Multiplique $| x - 3 | | x - 3 |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.4.1.1

Para multiplicar valores absolutos, multiplique os termos dentro de cada um deles.

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x - 3) (x - 3) | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.1.2

Eleve $x - 3$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x - 3) (x - 3) | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.1.3

Eleve $x - 3$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x - 3) (x - 3) | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.1.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = \frac{\frac{| {(x - 3)}^{1 + 1} | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.1.5

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| {(x - 3)}^{2} | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.2

Reescreva ${(x - 3)}^{2}$ como $(x - 3) (x - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x - 3) (x - 3) | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.3

Expanda $(x - 3) (x - 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.4.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x (x - 3) - 3 (x - 3) | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3) | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.4.4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.4.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3 | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.4.1.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3 | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.4.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 3 x - 3 x + 9 | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.4.2

Subtraia $3 x$ de $- 3 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - {(x - 3)}^{2}}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.5

Reescreva ${(x - 3)}^{2}$ como $(x - 3) (x - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - ((x - 3) (x - 3))}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.6

Expanda $(x - 3) (x - 3)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.4.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - (x (x - 3) - 3 (x - 3))}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3))}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.7

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.4.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.4.7.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.7.1.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.7.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - (x^{2} - 3 x - 3 x + 9)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.7.2

Subtraia $3 x$ de $- 3 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - (x^{2} - 6 x + 9)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.8

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - x^{2} - (- 6 x) - 1 \cdot 9}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.4.9.1

Multiplique $- 6$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - x^{2} + 6 x - 1 \cdot 9}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.9.2

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} - 6 x + 9 | - x^{2} + 6 x - 9}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.10

Reordene os termos.

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} + 6 x + | x^{2} - 6 x + 9 | - 9}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.11

Reescreva $- x^{2} + 6 x + | x^{2} - 6 x + 9 | - 9$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.4.11.1

Reagrupe os termos.

$f'' (x) = \frac{\frac{- 9 - x^{2} + 6 x + | x^{2} - 6 x + 9 |}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.11.2

Fatore $- 1$ de $- x^{2} + 6 x + | x^{2} - 6 x + 9 |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.4.11.2.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 9 - (x^{2}) + 6 x + | x^{2} - 6 x + 9 |}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.11.2.2

Fatore $- 1$ de $6 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 9 - (x^{2}) - (- 6 x) + | x^{2} - 6 x + 9 |}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.11.2.3

Fatore $- 1$ de $| x^{2} - 6 x + 9 |$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 9 - (x^{2}) - (- 6 x) - 1 (- | x^{2} - 6 x + 9 |)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.11.2.4

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - (- 6 x)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 9 - (x^{2} - 6 x) - 1 (- | x^{2} - 6 x + 9 |)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.11.2.5

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} - 6 x) - 1 (- | x^{2} - 6 x + 9 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 9 - (x^{2} - 6 x - | x^{2} - 6 x + 9 |)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.11.3

Fatore $- 1$ de $- 9 - (x^{2} - 6 x - | x^{2} - 6 x + 9 |)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.4.11.3.1

Reescreva $- 9$ como $- 1 (9)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 \cdot 9 - (x^{2} - 6 x - | x^{2} - 6 x + 9 |)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.11.3.2

Fatore $- 1$ de $- 1 (9) - (x^{2} - 6 x - | x^{2} - 6 x + 9 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 (9 + x^{2} - 6 x - | x^{2} - 6 x + 9 |)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.11.3.3

Reescreva $- 1 (9 + x^{2} - 6 x - | x^{2} - 6 x + 9 |)$ como $- (9 + x^{2} - 6 x - | x^{2} - 6 x + 9 |)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{- (9 + x^{2} - 6 x - | x^{2} - 6 x + 9 |)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.11.4

Reordene os termos.

$f'' (x) = \frac{\frac{- (x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |)}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Reescreva $\frac{- \frac{x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |}{| x - 3 |}}{{| x - 3 |}^{2}}$ como um produto.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |}{| x - 3 |} \cdot \frac{1}{{| x - 3 |}^{2}}$

Etapa 2.5.3.2

Multiplique $\frac{1}{{| x - 3 |}^{2}}$ por $\frac{x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |}{| x - 3 |}$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |}{{| x - 3 |}^{2} | x - 3 |}$

Etapa 2.5.3.3

Multiplique ${| x - 3 |}^{2}$ por $| x - 3 |$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.3.1

Multiplique ${| x - 3 |}^{2}$ por $| x - 3 |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.3.1.1

Eleve $| x - 3 |$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |}{{| x - 3 |}^{2} | x - 3 |}$

Etapa 2.5.3.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |}{{| x - 3 |}^{2 + 1}}$

Etapa 2.5.3.3.2

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{x^{2} - 6 x + 9 - | x^{2} - 6 x + 9 |}{{| x - 3 |}^{3}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{x - 3}{| x - 3 |} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = | x |$ e $g (x) = x - 3$ .

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Etapa 4.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 3$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (x - 3)$

Etapa 4.1.1.2

A derivada de $| u |$ em relação a $u$ é $\frac{u}{| u |}$ .

$f' (x) = \frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (x - 3)$

Etapa 4.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 3$ .

$f' (x) = \frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot \frac{d}{d x} (x - 3)$

Etapa 4.1.2

Diferencie.

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Etapa 4.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = \frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 3))$

Etapa 4.1.2.3

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot (1 + 0)$

Etapa 4.1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x - 3}{| x - 3 |} \cdot 1$

Etapa 4.1.2.4.2

Multiplique $\frac{x - 3}{| x - 3 |}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x - 3}{| x - 3 |}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{x - 3}{| x - 3 |}$ .

$\frac{x - 3}{| x - 3 |}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{x - 3}{| x - 3 |} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{x - 3}{| x - 3 |} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$x - 3 = 0$

Etapa 5.3

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 5.4

Exclua as soluções que não tornam $\frac{x - 3}{| x - 3 |} = 0$ verdadeira.

$Nenhuma solução$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

Defina o denominador em $\frac{x - 3}{| x - 3 |}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$| x - 3 | = 0$

Etapa 6.2

Resolva $x$ .

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Etapa 6.2.1

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$x - 3 = \pm 0$

Etapa 6.2.2

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 6.2.3

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 3$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 3$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 9 - | {(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 9 |}{{| (3) - 3 |}^{3}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Subtraia $3$ de $3$ .

$- \frac{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 9 - | {(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 9 |}{{| 0 |}^{3}}$

Etapa 9.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $0$ é $0$ .

$- \frac{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 9 - | {(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 9 |}{0^{3}}$

Etapa 9.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{{(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 9 - | {(3)}^{2} - 6 \cdot 3 + 9 |}{0}$

Etapa 9.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 10

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 10.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Etapa 10.2

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- \infty, 3)$ na primeira derivada $\frac{x - 3}{| x - 3 |}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.2.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = \frac{(0) - 3}{| (0) - 3 |}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.2.2.1

Subtraia $3$ de $0$ .

$f' (0) = \frac{- 3}{| 0 - 3 |}$

Etapa 10.2.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 10.2.2.2.1

Subtraia $3$ de $0$ .

$f' (0) = \frac{- 3}{| - 3 |}$

Etapa 10.2.2.2.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $- 3$ e $0$ é $3$ .

$f' (0) = \frac{- 3}{3}$

Etapa 10.2.2.3

Divida $- 3$ por $3$ .

$f' (0) = - 1$

Etapa 10.2.2.4

A resposta final é $- 1$ .

$- 1$

Etapa 10.3

Substitua qualquer número, como $6$ , do intervalo $(3, \infty)$ na primeira derivada $\frac{x - 3}{| x - 3 |}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.3.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f' (6) = \frac{(6) - 3}{| (6) - 3 |}$

Etapa 10.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.3.2.1

Subtraia $3$ de $6$ .

$f' (6) = \frac{3}{| 6 - 3 |}$

Etapa 10.3.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 10.3.2.2.1

Subtraia $3$ de $6$ .

$f' (6) = \frac{3}{| 3 |}$

Etapa 10.3.2.2.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $3$ é $3$ .

$f' (6) = \frac{3}{3}$

Etapa 10.3.2.3

Divida $3$ por $3$ .

$f' (6) = 1$

Etapa 10.3.2.4

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 10.4

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 3$ , então $x = 3$ é um mínimo local.

$x = 3$ é um mínimo local

Etapa 11