Cálculo Exemplos

$y = x^{- 7} + x^{7}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{- 7} + x^{7}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{- 7}] + \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 7}] + \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 7$ .

$- 7 x^{- 8} + \frac{d}{d x} [x^{7}]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$- 7 x^{- 8} + 7 x^{6}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 7 \frac{1}{x^{8}} + 7 x^{6}$

Etapa 1.4.2

Combine os termos.

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Etapa 1.4.2.1

Combine $- 7$ e $\frac{1}{x^{8}}$ .

$\frac{- 7}{x^{8}} + 7 x^{6}$

Etapa 1.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{7}{x^{8}} + 7 x^{6}$

Etapa 1.4.3

Reordene os termos.

$f' (x) = 7 x^{6} - \frac{7}{x^{8}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 x^{6} - \frac{7}{x^{8}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [7 x^{6}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x^{6}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$7 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $6$ por $7$ .

$42 x^{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{8}}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{7}{x^{8}}$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{8}}]$ .

$42 x^{5} - 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{8}}]$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{8}}$ como ${(x^{8})}^{- 1}$ .

$42 x^{5} - 7 \frac{d}{d x} [{(x^{8})}^{- 1}]$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{8}$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{8}$ .

$42 x^{5} - 7 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$42 x^{5} - 7 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{8}$ .

$42 x^{5} - 7 (- {(x^{8})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{8}])$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 8$ .

$42 x^{5} - 7 (- {(x^{8})}^{- 2} (8 x^{7}))$

Etapa 2.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{8})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$42 x^{5} - 7 (- x^{8 \cdot - 2} (8 x^{7}))$

Etapa 2.3.5.2

Multiplique $8$ por $- 2$ .

$42 x^{5} - 7 (- x^{- 16} (8 x^{7}))$

Etapa 2.3.6

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$42 x^{5} - 7 (- 8 x^{- 16} x^{7})$

Etapa 2.3.7

Multiplique $x^{- 16}$ por $x^{7}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.7.1

Mova $x^{7}$ .

$42 x^{5} - 7 (- 8 (x^{7} x^{- 16}))$

Etapa 2.3.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$42 x^{5} - 7 (- 8 x^{7 - 16})$

Etapa 2.3.7.3

Subtraia $16$ de $7$ .

$42 x^{5} - 7 (- 8 x^{- 9})$

Etapa 2.3.8

Multiplique $- 8$ por $- 7$ .

$42 x^{5} + 56 x^{- 9}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$42 x^{5} + 56 \frac{1}{x^{9}}$

Etapa 2.4.2

Combine $56$ e $\frac{1}{x^{9}}$ .

$f'' (x) = 42 x^{5} + \frac{56}{x^{9}}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $42 x^{5} + \frac{56}{x^{9}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$ .

$\frac{d}{d x} [42 x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [42 x^{5}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $42$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $42 x^{5}$ em relação a $x$ é $42 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$42 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$42 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $5$ por $42$ .

$210 x^{4} + \frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{56}{x^{9}}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $56$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{56}{x^{9}}$ em relação a $x$ é $56 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{9}}]$ .

$210 x^{4} + 56 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{9}}]$

Etapa 3.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{9}}$ como ${(x^{9})}^{- 1}$ .

$210 x^{4} + 56 \frac{d}{d x} [{(x^{9})}^{- 1}]$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{9}$ .

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Etapa 3.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{9}$ .

$210 x^{4} + 56 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Etapa 3.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$210 x^{4} + 56 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Etapa 3.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{9}$ .

$210 x^{4} + 56 (- {(x^{9})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{9}])$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 9$ .

$210 x^{4} + 56 (- {(x^{9})}^{- 2} (9 x^{8}))$

Etapa 3.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{9})}^{- 2}$ .

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Etapa 3.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$210 x^{4} + 56 (- x^{9 \cdot - 2} (9 x^{8}))$

Etapa 3.3.5.2

Multiplique $9$ por $- 2$ .

$210 x^{4} + 56 (- x^{- 18} (9 x^{8}))$

Etapa 3.3.6

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$210 x^{4} + 56 (- 9 x^{- 18} x^{8})$

Etapa 3.3.7

Multiplique $x^{- 18}$ por $x^{8}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.7.1

Mova $x^{8}$ .

$210 x^{4} + 56 (- 9 (x^{8} x^{- 18}))$

Etapa 3.3.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$210 x^{4} + 56 (- 9 x^{8 - 18})$

Etapa 3.3.7.3

Subtraia $18$ de $8$ .

$210 x^{4} + 56 (- 9 x^{- 10})$

Etapa 3.3.8

Multiplique $- 9$ por $56$ .

$210 x^{4} - 504 x^{- 10}$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$210 x^{4} - 504 \frac{1}{x^{10}}$

Etapa 3.4.2

Combine os termos.

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Etapa 3.4.2.1

Combine $- 504$ e $\frac{1}{x^{10}}$ .

$210 x^{4} + \frac{- 504}{x^{10}}$

Etapa 3.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f''' (x) = 210 x^{4} - \frac{504}{x^{10}}$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $210 x^{4} - \frac{504}{x^{10}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$ .

$\frac{d}{d x} [210 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d x} [210 x^{4}]$ .

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Etapa 4.2.1

Como $210$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $210 x^{4}$ em relação a $x$ é $210 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$210 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$210 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$

Etapa 4.2.3

Multiplique $4$ por $210$ .

$840 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$

Etapa 4.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{504}{x^{10}}]$ .

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Etapa 4.3.1

Como $- 504$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{504}{x^{10}}$ em relação a $x$ é $- 504 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{10}}]$ .

$840 x^{3} - 504 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{10}}]$

Etapa 4.3.2

Reescreva $\frac{1}{x^{10}}$ como ${(x^{10})}^{- 1}$ .

$840 x^{3} - 504 \frac{d}{d x} [{(x^{10})}^{- 1}]$

Etapa 4.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{10}$ .

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Etapa 4.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{10}$ .

$840 x^{3} - 504 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{10}])$

Etapa 4.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$840 x^{3} - 504 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{10}])$

Etapa 4.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{10}$ .

$840 x^{3} - 504 (- {(x^{10})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{10}])$

Etapa 4.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 10$ .

$840 x^{3} - 504 (- {(x^{10})}^{- 2} (10 x^{9}))$

Etapa 4.3.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{10})}^{- 2}$ .

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Etapa 4.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$840 x^{3} - 504 (- x^{10 \cdot - 2} (10 x^{9}))$

Etapa 4.3.5.2

Multiplique $10$ por $- 2$ .

$840 x^{3} - 504 (- x^{- 20} (10 x^{9}))$

Etapa 4.3.6

Multiplique $10$ por $- 1$ .

$840 x^{3} - 504 (- 10 x^{- 20} x^{9})$

Etapa 4.3.7

Multiplique $x^{- 20}$ por $x^{9}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.7.1

Mova $x^{9}$ .

$840 x^{3} - 504 (- 10 (x^{9} x^{- 20}))$

Etapa 4.3.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$840 x^{3} - 504 (- 10 x^{9 - 20})$

Etapa 4.3.7.3

Subtraia $20$ de $9$ .

$840 x^{3} - 504 (- 10 x^{- 11})$

Etapa 4.3.8

Multiplique $- 10$ por $- 504$ .

$840 x^{3} + 5040 x^{- 11}$

Etapa 4.4

Simplifique.

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Etapa 4.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$840 x^{3} + 5040 \frac{1}{x^{11}}$

Etapa 4.4.2

Combine $5040$ e $\frac{1}{x^{11}}$ .

$f^{4} (x) = 840 x^{3} + \frac{5040}{x^{11}}$