Cálculo Exemplos

$f (t) = t \sqrt{25 - t^{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{25 - t^{2}}$ como ${(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [t {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$t \frac{d}{d t} [{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ e $g (t) = 25 - t^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $25 - t^{2}$ .

$t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $25 - t^{2}$ .

$t (\frac{1}{2} {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$t (\frac{1}{2} {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$t (\frac{1}{2} {(25 - t^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$t (\frac{1}{2} {(25 - t^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$t (\frac{1}{2} {(25 - t^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.8

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$t (\frac{1}{2} {(25 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(25 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$t (\frac{{(25 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.8.3

Mova ${(25 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$t (\frac{1}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.8.4

Combine $\frac{1}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $t$ .

$\frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [25 - t^{2}] + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $25 - t^{2}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [25] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$\frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [25] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.10

Como $25$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $25$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.11

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$\frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- t^{2}] + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.12

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t^{2}$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d t} [t^{2}]) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 t)) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.14

Combine frações.

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Etapa 1.14.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 t) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.14.2

Combine $- 2$ e $\frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} t + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.14.3

Combine $\frac{- 2 t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $t$ .

$\frac{- 2 t \cdot t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.15

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{- 2 (t^{1} t)}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.16

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$\frac{- 2 (t^{1} t^{1})}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.17

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- 2 t^{1 + 1}}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.18

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- 2 t^{2}}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.19

Fatore $2$ de $- 2 t^{2}$ .

$\frac{2 (- t^{2})}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.20

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.20.1

Fatore $2$ de $2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- t^{2})}{2 ({(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.20.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- t^{2})}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.20.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.21

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.22

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Etapa 1.23

Multiplique ${(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$- \frac{t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.24

Para escrever ${(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.25

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- t^{2} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.26

Multiplique ${(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.26.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- t^{2} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.26.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- t^{2} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.26.3

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- t^{2} + {(25 - t^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.26.4

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{- t^{2} + {(25 - t^{2})}^{1}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.27

Simplifique ${(25 - t^{2})}^{1}$ .

$\frac{- t^{2} + 25 - t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.28

Subtraia $t^{2}$ de $- t^{2}$ .

$\frac{- 2 t^{2} + 25}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.29

Reordene os termos.

$\frac{- 2 t^{2} + 25}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ é $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , em que $f (t) = - 2 t^{2} + 25$ e $g (t) = {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (- 2 t^{2} + 25) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{({(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.2

Multiplique os expoentes em ${({(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (- 2 t^{2} + 25) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (- 2 t^{2} + 25) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (- 2 t^{2} + 25) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.3

Simplifique.

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (- 2 t^{2} + 25) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.4

Diferencie.

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Etapa 2.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 t^{2} + 25$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [- 2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [25]$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d t} (- 2 t^{2}) + \frac{d}{d t} (25)) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.4.2

Como $- 2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 2 t^{2}$ em relação a $t$ é $- 2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 2 \frac{d}{d t} t^{2} + \frac{d}{d t} (25)) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 2 (2 t) + \frac{d}{d t} (25)) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.4.4

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t + \frac{d}{d t} (25)) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.4.5

Como $25$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $25$ em relação a $t$ é $0$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t + 0) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.4.6

Some $- 4 t$ e $0$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ e $g (t) = - t^{2} + 25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- t^{2} + 25$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- t^{2} + 25$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.9.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(- t^{2} + 25)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.10

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2} \cdot {(- t^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.10.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(- t^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{{(- t^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.10.3

Mova ${(- t^{2} + 25)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d t} (- t^{2} + 25))}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.11

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- t^{2} + 25$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [- t^{2}] + \frac{d}{d t} [25]$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d t} (- t^{2}) + \frac{d}{d t} (25)))}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.12

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t^{2}$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d t} t^{2} + \frac{d}{d t} (25)))}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 t) + \frac{d}{d t} (25)))}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.14

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 t + \frac{d}{d t} (25)))}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.15

Como $25$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $25$ em relação a $t$ é $0$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 t + 0))}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.16

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.16.1

Some $- 2 t$ e $0$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{1}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 t))}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.16.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (\frac{- 2}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot t)}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.16.3

Combine $\frac{- 2}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ e $t$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{- 2 t}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.16.4

Fatore $2$ de $- 2 t$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{2 (- t)}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.17

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.17.1

Fatore $2$ de $2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{2 (- t)}{2 ({(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.17.2

Cancele o fator comum.

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{2 (- t)}{2 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.17.3

Reescreva a expressão.

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) \frac{- t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.18

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) - (- 2 t^{2} + 25) (- \frac{t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}})}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.19

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) + 1 (- 2 t^{2} + 25) (\frac{t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}})}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.20

Multiplique $- 2 t^{2} + 25$ por $1$ .

$f'' (t) = \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- 4 t) + (- 2 t^{2} + 25) (\frac{t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}})}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.21

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.21.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.21.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f'' (t) = \frac{- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} t + (- 2 t^{2} + 25) (\frac{t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}})}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.21.1.2

Multiplique $- 2 t^{2} + 25$ por $\frac{t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (t) = \frac{- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} t + \frac{(- 2 t^{2} + 25) t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.21.1.3

Para escrever $- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} t$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (t) = \frac{- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} t \cdot \frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{(- 2 t^{2} + 25) t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.21.1.4

Combine $- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} t$ e $\frac{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (t) = \frac{\frac{- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} t {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{(- 2 t^{2} + 25) t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.21.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (t) = \frac{\frac{- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} t {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 t^{2} + 25) t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.21.1.6

Reescreva $\frac{- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} t {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 t^{2} + 25) t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.21.1.6.1

Fatore $t$ de $- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} t {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} + (- 2 t^{2} + 25) t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.21.1.6.1.1

Fatore $t$ de $- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} t {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (t) = \frac{\frac{t (- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}) + (- 2 t^{2} + 25) t}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.21.1.6.1.2

Fatore $t$ de $(- 2 t^{2} + 25) t$ .

$f'' (t) = \frac{\frac{t (- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}) + t (- 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.21.1.6.1.3

Fatore $t$ de $t (- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}) + t (- 2 t^{2} + 25)$ .

$f'' (t) = \frac{\frac{t (- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} - 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.21.1.6.2

Multiplique ${(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.21.1.6.2.1

Mova ${(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (t) = \frac{\frac{t (- 4 ({(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}) - 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.21.1.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (t) = \frac{\frac{t (- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.21.1.6.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (t) = \frac{\frac{t (- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{1 + 1}{2}} - 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.21.1.6.2.4

Some $1$ e $1$ .

$f'' (t) = \frac{\frac{t (- 4 {(- t^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}} - 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.21.1.6.2.5

Divida $2$ por $2$ .

$f'' (t) = \frac{\frac{t (- 4 (- t^{2} + 25) - 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.21.1.6.3

Simplifique $- 4 {(- t^{2} + 25)}^{1}$ .

$f'' (t) = \frac{\frac{t (- 4 (- t^{2} + 25) - 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.21.1.6.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (t) = \frac{\frac{t (- 4 (- t^{2}) - 4 \cdot 25 - 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.21.1.6.5

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$f'' (t) = \frac{\frac{t (4 t^{2} - 4 \cdot 25 - 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.21.1.6.6

Multiplique $- 4$ por $25$ .

$f'' (t) = \frac{\frac{t (4 t^{2} - 100 - 2 t^{2} + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.21.1.6.7

Subtraia $2 t^{2}$ de $4 t^{2}$ .

$f'' (t) = \frac{\frac{t (2 t^{2} - 100 + 25)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.21.1.6.8

Some $- 100$ e $25$ .

$f'' (t) = \frac{\frac{t (2 t^{2} - 75)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.21.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.21.2.1

Reescreva $\frac{\frac{t (2 t^{2} - 75)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}}{- t^{2} + 25}$ como um produto.

$f'' (t) = \frac{t (2 t^{2} - 75)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- t^{2} + 25}$

Etapa 2.21.2.2

Multiplique $\frac{t (2 t^{2} - 75)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{- t^{2} + 25}$ .

$f'' (t) = \frac{t (2 t^{2} - 75)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- t^{2} + 25)}$

Etapa 2.21.2.3

Multiplique ${(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ por $- t^{2} + 25$ somando os expoentes.

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Etapa 2.21.2.3.1

Multiplique ${(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ por $- t^{2} + 25$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.21.2.3.1.1

Eleve $- t^{2} + 25$ à potência de $1$ .

$f'' (t) = \frac{t (2 t^{2} - 75)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}} (- t^{2} + 25)}$

Etapa 2.21.2.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (t) = \frac{t (2 t^{2} - 75)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Etapa 2.21.2.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f'' (t) = \frac{t (2 t^{2} - 75)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Etapa 2.21.2.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (t) = \frac{t (2 t^{2} - 75)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Etapa 2.21.2.3.4

Some $1$ e $2$ .

$f'' (t) = \frac{t (2 t^{2} - 75)}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{- 2 t^{2} + 25}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{25 - t^{2}}$ como ${(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (t) = \frac{d}{d t} (t {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 4.1.2

$f' (t) = t \frac{d}{d t} ({(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ e $g (t) = 25 - t^{2}$ .

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Etapa 4.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $25 - t^{2}$ .

$f' (t) = t (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (t) = t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 4.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $25 - t^{2}$ .

$f' (t) = t (\frac{1}{2} \cdot {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 4.1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (t) = t (\frac{1}{2} \cdot {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 4.1.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (t) = t (\frac{1}{2} \cdot {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 4.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (t) = t (\frac{1}{2} \cdot {(25 - t^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 4.1.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (t) = t (\frac{1}{2} \cdot {(25 - t^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 4.1.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f' (t) = t (\frac{1}{2} \cdot {(25 - t^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 4.1.8

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (t) = t (\frac{1}{2} \cdot {(25 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 4.1.8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(25 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (t) = t (\frac{{(25 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 4.1.8.3

Mova ${(25 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (t) = t (\frac{1}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d t} (25 - t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 4.1.8.4

Combine $\frac{1}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $t$ .

$f' (t) = \frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d t} (25 - t^{2}) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 4.1.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $25 - t^{2}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [25] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$f' (t) = \frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d t} (25) + \frac{d}{d t} (- t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 4.1.10

Como $25$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $25$ em relação a $t$ é $0$ .

$f' (t) = \frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d t} (- t^{2})) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 4.1.11

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$f' (t) = \frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d t} (- t^{2}) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 4.1.12

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t^{2}$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$f' (t) = \frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d t} t^{2}) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 4.1.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (t) = \frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 t)) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 4.1.14

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.14.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (t) = \frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 t) + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 4.1.14.2

Combine $- 2$ e $\frac{t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (t) = \frac{- 2 t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot t + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 4.1.14.3

Combine $\frac{- 2 t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $t$ .

$f' (t) = \frac{- 2 t \cdot t}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 4.1.15

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$f' (t) = \frac{- 2 (t \cdot t)}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 4.1.16

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$f' (t) = \frac{- 2 (t \cdot t)}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 4.1.17

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (t) = \frac{- 2 t^{1 + 1}}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 4.1.18

Some $1$ e $1$ .

$f' (t) = \frac{- 2 t^{2}}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 4.1.19

Fatore $2$ de $- 2 t^{2}$ .

$f' (t) = \frac{2 (- t^{2})}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 4.1.20

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.20.1

Fatore $2$ de $2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (t) = \frac{2 (- t^{2})}{2 ({(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 4.1.20.2

Cancele o fator comum.

$f' (t) = \frac{2 (- t^{2})}{2 {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 4.1.20.3

Reescreva a expressão.

$f' (t) = \frac{- t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 4.1.21

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (t) = - \frac{t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} (t)$

Etapa 4.1.22

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (t) = - \frac{t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Etapa 4.1.23

Multiplique ${(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f' (t) = - \frac{t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.1.24

Para escrever ${(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (t) = - \frac{t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.25

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (t) = \frac{- t^{2} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.26

Multiplique ${(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.26.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (t) = \frac{- t^{2} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.26.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (t) = \frac{- t^{2} + {(25 - t^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.26.3

Some $1$ e $1$ .

$f' (t) = \frac{- t^{2} + {(25 - t^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.26.4

Divida $2$ por $2$ .

$f' (t) = \frac{- t^{2} + 25 - t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.27

Simplifique ${(25 - t^{2})}^{1}$ .

$f' (t) = \frac{- t^{2} + 25 - t^{2}}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.28

Subtraia $t^{2}$ de $- t^{2}$ .

$f' (t) = \frac{- 2 t^{2} + 25}{{(25 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.29

Reordene os termos.

$f' (t) = \frac{- 2 t^{2} + 25}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (t)$ com relação a $t$ é $\frac{- 2 t^{2} + 25}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2 t^{2} + 25}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{- 2 t^{2} + 25}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{- 2 t^{2} + 25}{{(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$- 2 t^{2} + 25 = 0$

Etapa 5.3

Resolva a equação para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Subtraia $25$ dos dois lados da equação.

$- 2 t^{2} = - 25$

Etapa 5.3.2

Divida cada termo em $- 2 t^{2} = - 25$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Divida cada termo em $- 2 t^{2} = - 25$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 t^{2}}{- 2} = \frac{- 25}{- 2}$

Etapa 5.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 t^{2}}{- 2} = \frac{- 25}{- 2}$

Etapa 5.3.2.2.1.2

Divida $t^{2}$ por $1$ .

$t^{2} = \frac{- 25}{- 2}$

Etapa 5.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$t^{2} = \frac{25}{2}$

Etapa 5.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{\frac{25}{2}}$

Etapa 5.3.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{25}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{25}{2}}$ como $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}$

Etapa 5.3.4.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.2.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$t = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{2}}$

Etapa 5.3.4.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$t = \pm \frac{5}{\sqrt{2}}$

Etapa 5.3.4.3

Multiplique $\frac{5}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$t = \pm \frac{5}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 5.3.4.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.4.1

Multiplique $\frac{5}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 5.3.4.4.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 5.3.4.4.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 5.3.4.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 5.3.4.4.5

Some $1$ e $1$ .

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 5.3.4.4.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.3.4.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.3.4.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.4.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.4.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 5.3.4.4.6.5

Avalie o expoente.

$t = \pm \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$t = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$t = - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$t = \frac{5 \sqrt{2}}{2}, - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{- 2 t^{2} + 25}{\sqrt{{(- t^{2} + 25)}^{1}}}$

Etapa 6.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{- 2 t^{2} + 25}{\sqrt{- t^{2} + 25}}$

Etapa 6.2

Defina o denominador em $\frac{- 2 t^{2} + 25}{\sqrt{- t^{2} + 25}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt{- t^{2} + 25} = 0$

Etapa 6.3

Resolva $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{- t^{2} + 25}}^{2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{- t^{2} + 25}$ como ${(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Simplifique ${({(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(- t^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(- t^{2} + 25)}^{1} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Simplifique.

$- t^{2} + 25 = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- t^{2} + 25 = 0$

Etapa 6.3.3

Resolva $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Subtraia $25$ dos dois lados da equação.

$- t^{2} = - 25$

Etapa 6.3.3.2

Divida cada termo em $- t^{2} = - 25$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.1

Divida cada termo em $- t^{2} = - 25$ por $- 1$ .

$\frac{- t^{2}}{- 1} = \frac{- 25}{- 1}$

Etapa 6.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{t^{2}}{1} = \frac{- 25}{- 1}$

Etapa 6.3.3.2.2.2

Divida $t^{2}$ por $1$ .

$t^{2} = \frac{- 25}{- 1}$

Etapa 6.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.3.1

Divida $- 25$ por $- 1$ .

$t^{2} = 25$

Etapa 6.3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{25}$

Etapa 6.3.3.4

Simplifique $\pm \sqrt{25}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.4.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$t = \pm \sqrt{5^{2}}$

Etapa 6.3.3.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$t = \pm 5$

Etapa 6.3.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$t = 5$

Etapa 6.3.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$t = - 5$

Etapa 6.3.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$t = 5, - 5$

Etapa 6.4

Defina o radicando em $\sqrt{- t^{2} + 25}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$- t^{2} + 25 < 0$

Etapa 6.5

Resolva $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Subtraia $25$ dos dois lados da desigualdade.

$- t^{2} < - 25$

Etapa 6.5.2

Divida cada termo em $- t^{2} < - 25$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Divida cada termo em $- t^{2} < - 25$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- t^{2}}{- 1} > \frac{- 25}{- 1}$

Etapa 6.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{t^{2}}{1} > \frac{- 25}{- 1}$

Etapa 6.5.2.2.2

Divida $t^{2}$ por $1$ .

$t^{2} > \frac{- 25}{- 1}$

Etapa 6.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.3.1

Divida $- 25$ por $- 1$ .

$t^{2} > 25$

Etapa 6.5.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{t^{2}} > \sqrt{25}$

Etapa 6.5.4

Simplifique a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.4.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$| t | > \sqrt{25}$

Etapa 6.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.4.2.1

Simplifique $\sqrt{25}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.4.2.1.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$| t | > \sqrt{5^{2}}$

Etapa 6.5.4.2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$| t | > | 5 |$

Etapa 6.5.4.2.1.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $5$ é $5$ .

$| t | > 5$

Etapa 6.5.5

Escreva $| t | > 5$ em partes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.5.1

Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.

$t \geq 0$

Etapa 6.5.5.2

Na parte em que $t$ é não negativo, remova o valor absoluto.

$t > 5$

Etapa 6.5.5.3

Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.

$t < 0$

Etapa 6.5.5.4

Na parte em que $t$ é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por $- 1$ .

$- t > 5$

Etapa 6.5.5.5

Escreva em partes.

${\begin{cases} t > 5 & t \geq 0 \\ - t > 5 & t < 0 \end{cases}$

Etapa 6.5.6

Encontre a intersecção de $t > 5$ e $t \geq 0$ .

$t > 5$

Etapa 6.5.7

Divida cada termo em $- t > 5$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.7.1

Divida cada termo em $- t > 5$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- t}{- 1} < \frac{5}{- 1}$

Etapa 6.5.7.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.7.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{t}{1} < \frac{5}{- 1}$

Etapa 6.5.7.2.2

Divida $t$ por $1$ .

$t < \frac{5}{- 1}$

Etapa 6.5.7.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.7.3.1

Divida $5$ por $- 1$ .

$t < - 5$

Etapa 6.5.8

Encontre a união das soluções.

$t < - 5$ ou $t > 5$

Etapa 6.6

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$t \leq - 5, t \geq 5$

$(- \infty, - 5] \cup [5, \infty)$

$t \leq - 5, t \geq 5$

$(- \infty, - 5] \cup [5, \infty)$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$t = \frac{5 \sqrt{2}}{2}, - \frac{5 \sqrt{2}}{2}, - 5, 5$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $t = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{(\frac{5 \sqrt{2}}{2}) (2 {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{{(5 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.1.2

Aplique a regra do produto a $5 \sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.2.2

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.2.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.2.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2^{1}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.2.2.5

Avalie o expoente.

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2}{2^{2}} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2}{4} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.4

Multiplique $25$ por $2$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 (\frac{50}{4}) - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.5.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{50}{2 (2)} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{50}{2 \cdot 2} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (\frac{50}{2} - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.6

Divida $50$ por $2$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} (25 - 75)}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.1.7

Subtraia $75$ de $25$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{{(5 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $5 \sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.2.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2.1.2.2

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2.1.2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2.1.2.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2.1.2.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2.1.2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25 \cdot 2^{1}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2.1.2.2.5

Avalie o expoente.

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25 \cdot 2}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25 \cdot 2}{4} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2.1.4

Multiplique $25$ por $2$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{50}{4} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2.1.5

Cancele o fator comum de $50$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.5.1

Fatore $2$ de $50$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{2 (25)}{4} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2.1.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.5.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2.1.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2.1.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25}{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2.2

Para escrever $25$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25}{2} + 25 \cdot \frac{2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2.3

Combine $25$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- \frac{25}{2} + \frac{25 \cdot 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(\frac{- 25 + 25 \cdot 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.5.1

Multiplique $25$ por $2$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(\frac{- 25 + 50}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2.5.2

Some $- 25$ e $50$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(\frac{25}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2.6

Aplique a regra do produto a $\frac{25}{2}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{\frac{25^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Etapa 9.2.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.7.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{\frac{{(5^{2})}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Etapa 9.2.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{\frac{5^{2 (\frac{3}{2})}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Etapa 9.2.7.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.7.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{\frac{5^{2 (\frac{3}{2})}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Etapa 9.2.7.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{\frac{5^{3}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Etapa 9.2.7.4

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{\frac{125}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Etapa 9.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Combine $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ e $- 50$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{2} \cdot - 50}{2}}{\frac{125}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Etapa 9.3.2

Multiplique $- 50$ por $5$ .

$\frac{\frac{- 250 \sqrt{2}}{2}}{\frac{125}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Etapa 9.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1

Reduza a expressão $\frac{- 250 \sqrt{2}}{2}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.4.1.1

Fatore $2$ de $- 250 \sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{2 (- 125 \sqrt{2})}{2}}{\frac{125}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Etapa 9.4.1.2

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{\frac{2 (- 125 \sqrt{2})}{2 (1)}}{\frac{125}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Etapa 9.4.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{2 (- 125 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}{\frac{125}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Etapa 9.4.1.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{- 125 \sqrt{2}}{1}}{\frac{125}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Etapa 9.4.2

Divida $- 125 \sqrt{2}$ por $1$ .

$\frac{- 125 \sqrt{2}}{\frac{125}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Etapa 9.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- 125 \sqrt{2} \frac{2^{\frac{3}{2}}}{125}$

Etapa 9.6

Cancele o fator comum de $125$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.6.1

Fatore $125$ de $- 125 \sqrt{2}$ .

$125 (- \sqrt{2}) \frac{2^{\frac{3}{2}}}{125}$

Etapa 9.6.2

Cancele o fator comum.

$125 (- \sqrt{2}) \frac{2^{\frac{3}{2}}}{125}$

Etapa 9.6.3

Reescreva a expressão.

$- \sqrt{2} \cdot 2^{\frac{3}{2}}$

Etapa 9.7

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- (2^{\frac{3}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}})$

Etapa 9.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 2^{\frac{3}{2} + \frac{1}{2}}$

Etapa 9.9

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.9.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- 2^{\frac{3 + 1}{2}}$

Etapa 9.9.2

Some $3$ e $1$ .

$- 2^{\frac{4}{2}}$

Etapa 9.10

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.10.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

Etapa 9.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.10.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

Etapa 9.10.2.2

Cancele o fator comum.

$- 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

Etapa 9.10.2.3

Reescreva a expressão.

$- 2^{\frac{2}{1}}$

Etapa 9.10.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$- 2^{2}$

Etapa 9.11

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.11.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- 1 \cdot 4$

Etapa 9.11.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 4$

Etapa 10

$t = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$t = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $t = \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $t$ por $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ na expressão.

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) \sqrt{25 - {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{{(5 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 11.2.1.2

Aplique a regra do produto a $5 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 11.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 11.2.2.2

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 11.2.2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Etapa 11.2.2.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 11.2.2.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 11.2.2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2}{2^{2}}}$

Etapa 11.2.2.2.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2}{2^{2}}}$

Etapa 11.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2}{4}}$

Etapa 11.2.3.2

Multiplique $25$ por $2$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{50}{4}}$

Etapa 11.2.3.3

Cancele o fator comum de $50$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.3.1

Fatore $2$ de $50$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{2 (25)}{4}}$

Etapa 11.2.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.3.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2}}$

Etapa 11.2.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2}}$

Etapa 11.2.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25}{2}}$

Etapa 11.2.4

Para escrever $25$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 \cdot \frac{2}{2} - \frac{25}{2}}$

Etapa 11.2.5

Combine $25$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{25 \cdot 2}{2} - \frac{25}{2}}$

Etapa 11.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{25 \cdot 2 - 25}{2}}$

Etapa 11.2.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.7.1

Multiplique $25$ por $2$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{50 - 25}{2}}$

Etapa 11.2.7.2

Subtraia $25$ de $50$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{25}{2}}$

Etapa 11.2.8

Reescreva $\sqrt{\frac{25}{2}}$ como $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}$

Etapa 11.2.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.9.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{2}}$

Etapa 11.2.9.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{5}{\sqrt{2}}$

Etapa 11.2.10

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.10.1

Cancele o fator comum de $\sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.10.1.1

Fatore $\sqrt{2}$ de $5 \sqrt{2}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2} \cdot 5}{2} \cdot \frac{5}{\sqrt{2}}$

Etapa 11.2.10.1.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2} \cdot 5}{2} \cdot \frac{5}{\sqrt{2}}$

Etapa 11.2.10.1.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5}{2} \cdot 5$

Etapa 11.2.10.2

Combine $\frac{5}{2}$ e $5$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{5 \cdot 5}{2}$

Etapa 11.2.10.3

Multiplique $5$ por $5$ .

$f (\frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{25}{2}$

Etapa 11.2.11

A resposta final é $\frac{25}{2}$ .

$y = \frac{25}{2}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $t = - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{(- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) (2 {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2}) - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 ({(- 1)}^{2} \frac{{(5 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}) - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.1.1.3

Aplique a regra do produto a $5 \sqrt{2}$ .

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 (1 \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.1.3

Multiplique $\frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.1.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.4.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.1.4.2

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.4.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.1.4.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.1.4.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.1.4.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.4.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.1.4.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2^{1}}{2^{2}} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.1.4.2.5

Avalie o expoente.

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2}{2^{2}} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.1.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{25 \cdot 2}{4} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.1.6

Multiplique $25$ por $2$ .

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 (\frac{50}{4}) - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.1.7

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.7.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{50}{2 (2)} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.1.7.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (2 \frac{50}{2 \cdot 2} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.1.7.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (\frac{50}{2} - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.1.8

Divida $50$ por $2$ .

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} (25 - 75)}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.1.9

Subtraia $75$ de $25$ .

$\frac{- \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot - 50}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.1.10

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.10.1

Multiplique $- 50$ por $- 1$ .

$\frac{50 \frac{5 \sqrt{2}}{2}}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.1.10.2

Combine $50$ e $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{50 (5 \sqrt{2})}{2}}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.1.10.3

Multiplique $5$ por $50$ .

$\frac{\frac{250 \sqrt{2}}{2}}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.1.11

Cancele o fator comum de $250$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.11.1

Fatore $2$ de $250 \sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{2 (125 \sqrt{2})}{2}}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.1.11.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.11.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{\frac{2 (125 \sqrt{2})}{2 (1)}}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.1.11.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{2 (125 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.1.11.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{125 \sqrt{2}}{1}}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.1.11.2.4

Divida $125 \sqrt{2}$ por $1$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- ({(- 1)}^{2} {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2}) + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- ({(- 1)}^{2} \frac{{(5 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}) + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.1.3

Aplique a regra do produto a $5 \sqrt{2}$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}) + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.2

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.2.1

Mova ${(- 1)}^{2}$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{({(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.2.2

Multiplique ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{({(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{125 \sqrt{2}}{{({(- 1)}^{2 + 1} \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.2.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{({(- 1)}^{3} \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.4.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.4.2

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.4.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.4.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.4.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.4.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.4.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.4.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25 \cdot 2^{1}}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.4.2.5

Avalie o expoente.

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25 \cdot 2}{2^{2}} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25 \cdot 2}{4} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.6

Multiplique $25$ por $2$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{50}{4} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.7

Cancele o fator comum de $50$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.7.1

Fatore $2$ de $50$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{2 (25)}{4} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.7.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25}{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.2

Para escrever $25$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25}{2} + 25 \cdot \frac{2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.3

Combine $25$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(- \frac{25}{2} + \frac{25 \cdot 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(\frac{- 25 + 25 \cdot 2}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.5.1

Multiplique $25$ por $2$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(\frac{- 25 + 50}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.5.2

Some $- 25$ e $50$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{{(\frac{25}{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.6

Aplique a regra do produto a $\frac{25}{2}$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{\frac{25^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Etapa 13.2.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.7.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{\frac{{(5^{2})}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Etapa 13.2.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{\frac{5^{2 (\frac{3}{2})}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Etapa 13.2.7.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.7.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{125 \sqrt{2}}{\frac{5^{2 (\frac{3}{2})}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Etapa 13.2.7.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{125 \sqrt{2}}{\frac{5^{3}}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Etapa 13.2.7.4

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$\frac{125 \sqrt{2}}{\frac{125}{2^{\frac{3}{2}}}}$

Etapa 13.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$125 \sqrt{2} \frac{2^{\frac{3}{2}}}{125}$

Etapa 13.4

Cancele o fator comum de $125$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.4.1

Fatore $125$ de $125 \sqrt{2}$ .

$125 (\sqrt{2}) \frac{2^{\frac{3}{2}}}{125}$

Etapa 13.4.2

Cancele o fator comum.

$125 \sqrt{2} \frac{2^{\frac{3}{2}}}{125}$

Etapa 13.4.3

Reescreva a expressão.

$\sqrt{2} \cdot 2^{\frac{3}{2}}$

Etapa 13.5

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{3}{2}}$

Etapa 13.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}}$

Etapa 13.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.7.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2^{\frac{1 + 3}{2}}$

Etapa 13.7.2

Some $1$ e $3$ .

$2^{\frac{4}{2}}$

Etapa 13.8

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.8.1

Fatore $2$ de $4$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}$

Etapa 13.8.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.8.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}$

Etapa 13.8.2.2

Cancele o fator comum.

$2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}$

Etapa 13.8.2.3

Reescreva a expressão.

$2^{\frac{2}{1}}$

Etapa 13.8.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$2^{2}$

Etapa 13.9

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$4$

Etapa 14

$t = - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$t = - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $t = - \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $t$ por $- \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ na expressão.

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) \sqrt{25 - {(- \frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - ({(- 1)}^{2} {(\frac{5 \sqrt{2}}{2})}^{2})}$

Etapa 15.2.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - ({(- 1)}^{2} (\frac{{(5 \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}))}$

Etapa 15.2.1.3

Aplique a regra do produto a $5 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - ({(- 1)}^{2} (\frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

Etapa 15.2.2

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Mova ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Etapa 15.2.2.2

Multiplique ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

Etapa 15.2.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Etapa 15.2.2.3

Some $2$ e $1$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 + {(- 1)}^{3} (\frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Etapa 15.2.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{5^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 15.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.4.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 15.2.4.2

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.4.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 15.2.4.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Etapa 15.2.4.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 15.2.4.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.4.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 15.2.4.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2}{2^{2}}}$

Etapa 15.2.4.2.5

Avalie o expoente.

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2}{2^{2}}}$

Etapa 15.2.5

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.5.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25 \cdot 2}{4}}$

Etapa 15.2.5.2

Multiplique $25$ por $2$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{50}{4}}$

Etapa 15.2.5.3

Cancele o fator comum de $50$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.5.3.1

Fatore $2$ de $50$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{2 (25)}{4}}$

Etapa 15.2.5.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.5.3.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2}}$

Etapa 15.2.5.3.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{2 \cdot 25}{2 \cdot 2}}$

Etapa 15.2.5.3.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 - \frac{25}{2}}$

Etapa 15.2.6

Para escrever $25$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{25 \cdot \frac{2}{2} - \frac{25}{2}}$

Etapa 15.2.7

Combine $25$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{25 \cdot 2}{2} - \frac{25}{2}}$

Etapa 15.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{25 \cdot 2 - 25}{2}}$

Etapa 15.2.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.9.1

Multiplique $25$ por $2$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{50 - 25}{2}}$

Etapa 15.2.9.2

Subtraia $25$ de $50$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{\frac{25}{2}}$

Etapa 15.2.10

Reescreva $\sqrt{\frac{25}{2}}$ como $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{2}}$

Etapa 15.2.11

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.11.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{2}}$

Etapa 15.2.11.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{5 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{5}{\sqrt{2}}$

Etapa 15.2.12

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.12.1

Cancele o fator comum de $\sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.12.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ para o numerador.

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{- 5 \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{5}{\sqrt{2}}$

Etapa 15.2.12.1.2

Fatore $\sqrt{2}$ de $- 5 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2} \cdot - 5}{2} \cdot \frac{5}{\sqrt{2}}$

Etapa 15.2.12.1.3

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2} \cdot - 5}{2} \cdot \frac{5}{\sqrt{2}}$

Etapa 15.2.12.1.4

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{- 5}{2} \cdot 5$

Etapa 15.2.12.2

Combine $\frac{- 5}{2}$ e $5$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{- 5 \cdot 5}{2}$

Etapa 15.2.12.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.12.3.1

Multiplique $- 5$ por $5$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = \frac{- 25}{2}$

Etapa 15.2.12.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{5 \sqrt{2}}{2}) = - \frac{25}{2}$

Etapa 15.2.13

A resposta final é $- \frac{25}{2}$ .

$y = - \frac{25}{2}$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $t = - 5$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{(- 5) (2 {(- 5)}^{2} - 75)}{{(- {(- 5)}^{2} + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$\frac{(- 5) (2 {(- 5)}^{2} - 75)}{{(- 1 \cdot 25 + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 17.1.2

Multiplique $- 1$ por $25$ .

$\frac{(- 5) (2 {(- 5)}^{2} - 75)}{{(- 25 + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 17.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 17.2.1

Some $- 25$ e $25$ .

$\frac{(- 5) (2 {(- 5)}^{2} - 75)}{0^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 17.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{(- 5) (2 {(- 5)}^{2} - 75)}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 17.2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(- 5) (2 {(- 5)}^{2} - 75)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 17.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 17.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(- 5) (2 {(- 5)}^{2} - 75)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 17.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(- 5) (2 {(- 5)}^{2} - 75)}{0^{3}}$

Etapa 17.2.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{(- 5) (2 {(- 5)}^{2} - 75)}{0}$

Etapa 17.2.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{(- 5) (2 {(- 5)}^{2} - 75)}{0}$

Etapa 17.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 18

Como o teste da primeira derivada falhou, não há um extremo local.

Nenhum extremo local

Etapa 19