Cálculo Exemplos

$y = \sin (\sin (x))$ , $(4 π, 0)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = 4 π$ e $y = 0$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$\cos (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\cos (\sin (x)) \cos (x)$

Etapa 1.3

Reordene os fatores de $\cos (\sin (x)) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cos (\sin (x))$

Etapa 1.4

Avalie a derivada em $x = 4 π$ .

$\cos (4 π) \cos (\sin (4 π))$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\cos (0) \cos (\sin (4 π))$

Etapa 1.5.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$1 \cos (\sin (4 π))$

Etapa 1.5.3

Multiplique $\cos (\sin (4 π))$ por $1$ .

$\cos (\sin (4 π))$

Etapa 1.5.4

Subtraia as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$\cos (\sin (0))$

Etapa 1.5.5

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\cos (0)$

Etapa 1.5.6

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$1$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $1$ e um ponto determinado $(4 π, 0)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 1 \cdot (x - (4 π))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 0 = 1 \cdot (x - 4 π)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Some $y$ e $0$ .

$y = 1 \cdot (x - 4 π)$

Etapa 2.3.2

Multiplique $x - 4 π$ por $1$ .

$y = x - 4 π$

Etapa 3