Cálculo Exemplos

$f (x) = {(2 x^{2} - 8)}^{2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 2 x^{2} - 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x^{2} - 8$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x^{2} - 8$ .

$2 (2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 8]$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$2 (2 x^{2} - 8) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Etapa 1.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (2 x^{2} - 8) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8])$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 x^{2} - 8) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8])$

Etapa 1.2.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 (2 x^{2} - 8) (4 x + \frac{d}{d x} [- 8])$

Etapa 1.2.5

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 (2 x^{2} - 8) (4 x + 0)$

Etapa 1.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Some $4 x$ e $0$ .

$2 (2 x^{2} - 8) (4 x)$

Etapa 1.2.6.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$8 (2 x^{2} - 8) x$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(8 (2 x^{2}) + 8 \cdot - 8) x$

Etapa 1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$8 (2 x^{2}) x + 8 \cdot - 8 x$

Etapa 1.3.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Multiplique $2$ por $8$ .

$16 x^{2} x + 8 \cdot - 8 x$

Etapa 1.3.3.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$16 (x^{1} x^{2}) + 8 \cdot - 8 x$

Etapa 1.3.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$16 x^{1 + 2} + 8 \cdot - 8 x$

Etapa 1.3.3.4

Some $1$ e $2$ .

$16 x^{3} + 8 \cdot - 8 x$

Etapa 1.3.3.5

Multiplique $8$ por $- 8$ .

$16 x^{3} - 64 x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $16 x^{3} - 64 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16 x^{3}$ em relação a $x$ é $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 16 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $16$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 64$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 64 x$ em relação a $x$ é $- 64 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} - 64 \frac{d}{d x} x$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} - 64 \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 64$ por $1$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} - 64$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$16 x^{3} - 64 x = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = 2 x^{2} - 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x^{2} - 8$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (2 x^{2} - 8)$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 2 u \frac{d}{d x} (2 x^{2} - 8)$

Etapa 4.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x^{2} - 8$ .

$f' (x) = 2 (2 x^{2} - 8) \frac{d}{d x} (2 x^{2} - 8)$

Etapa 4.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$f' (x) = 2 (2 x^{2} - 8) (\frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8))$

Etapa 4.1.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 2 (2 x^{2} - 8) (2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8))$

Etapa 4.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (2 x^{2} - 8) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8))$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$f' (x) = 2 (2 x^{2} - 8) (4 x + \frac{d}{d x} (- 8))$

Etapa 4.1.2.5

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 2 (2 x^{2} - 8) (4 x + 0)$

Etapa 4.1.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.6.1

Some $4 x$ e $0$ .

$f' (x) = 2 (2 x^{2} - 8) (4 x)$

Etapa 4.1.2.6.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$f' (x) = 8 (2 x^{2} - 8) x$

Etapa 4.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = (8 (2 x^{2}) + 8 \cdot - 8) x$

Etapa 4.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = 8 (2 x^{2}) x + 8 \cdot (- 8 x)$

Etapa 4.1.3.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.3.1

Multiplique $2$ por $8$ .

$f' (x) = 16 x^{2} x + 8 \cdot (- 8 x)$

Etapa 4.1.3.3.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 16 (x \cdot x^{2}) + 8 \cdot (- 8 x)$

Etapa 4.1.3.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = 16 x^{1 + 2} + 8 \cdot (- 8 x)$

Etapa 4.1.3.3.4

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = 16 x^{3} + 8 \cdot (- 8 x)$

Etapa 4.1.3.3.5

Multiplique $8$ por $- 8$ .

$f' (x) = 16 x^{3} - 64 x$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $16 x^{3} - 64 x$ .

$16 x^{3} - 64 x$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $16 x^{3} - 64 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$16 x^{3} - 64 x = 0$

Etapa 5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $16 x$ de $16 x^{3} - 64 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Fatore $16 x$ de $16 x^{3}$ .

$16 x (x^{2}) - 64 x = 0$

Etapa 5.2.1.2

Fatore $16 x$ de $- 64 x$ .

$16 x (x^{2}) + 16 x (- 4) = 0$

Etapa 5.2.1.3

Fatore $16 x$ de $16 x (x^{2}) + 16 x (- 4)$ .

$16 x (x^{2} - 4) = 0$

Etapa 5.2.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$16 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$16 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Etapa 5.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$16 x (x + 2) (x - 2) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.5

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 5.5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 5.6

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 5.6.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 5.7

A solução final são todos os valores que tornam $16 x (x + 2) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 2, 2$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, - 2, 2$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$48 {(0)}^{2} - 64$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$48 \cdot 0 - 64$

Etapa 9.1.2

Multiplique $48$ por $0$ .

$0 - 64$

Etapa 9.2

Subtraia $64$ de $0$ .

$- 64$

Etapa 10

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(2 {(0)}^{2} - 8)}^{2}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = {(2 \cdot 0 - 8)}^{2}$

Etapa 11.2.1.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$f (0) = {(0 - 8)}^{2}$

Etapa 11.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Subtraia $8$ de $0$ .

$f (0) = {(- 8)}^{2}$

Etapa 11.2.2.2

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$f (0) = 64$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $64$ .

$y = 64$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$48 {(- 2)}^{2} - 64$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$48 \cdot 4 - 64$

Etapa 13.1.2

Multiplique $48$ por $4$ .

$192 - 64$

Etapa 13.2

Subtraia $64$ de $192$ .

$128$

Etapa 14

$x = - 2$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 2$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = {(2 {(- 2)}^{2} - 8)}^{2}$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f (- 2) = {(2 \cdot 4 - 8)}^{2}$

Etapa 15.2.1.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$f (- 2) = {(8 - 8)}^{2}$

Etapa 15.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Subtraia $8$ de $8$ .

$f (- 2) = 0^{2}$

Etapa 15.2.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (- 2) = 0$

Etapa 15.2.3

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $x = 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$48 {(2)}^{2} - 64$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$48 \cdot 4 - 64$

Etapa 17.1.2

Multiplique $48$ por $4$ .

$192 - 64$

Etapa 17.2

Subtraia $64$ de $192$ .

$128$

Etapa 18

$x = 2$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 2$ é um mínimo local

Etapa 19

Encontre o valor y quando $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = {(2 {(2)}^{2} - 8)}^{2}$

Etapa 19.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.1

Multiplique $2$ por ${(2)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.1.1

Multiplique $2$ por ${(2)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.1.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$f (2) = {(2 {(2)}^{2} - 8)}^{2}$

Etapa 19.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (2) = {(2^{1 + 2} - 8)}^{2}$

Etapa 19.2.1.1.2

Some $1$ e $2$ .

$f (2) = {(2^{3} - 8)}^{2}$

Etapa 19.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (2) = {(8 - 8)}^{2}$

Etapa 19.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.2.1

Subtraia $8$ de $8$ .

$f (2) = 0^{2}$

Etapa 19.2.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (2) = 0$

Etapa 19.2.3

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 20

Esses são os extremos locais para $f (x) = {(2 x^{2} - 8)}^{2}$ .

$(0, 64)$ é um máximo local

$(- 2, 0)$ é um mínimo local

$(2, 0)$ é um mínimo local

Etapa 21