Cálculo Exemplos

$f (x) = (x - 1) e^{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x - 1$ e $g (x) = e^{x}$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 1.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} (1 + 0)$

Etapa 1.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Etapa 1.3.4.2

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x e^{x} - 1 e^{x} + e^{x}$

Etapa 1.4.2

Combine os termos.

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Etapa 1.4.2.1

Reescreva $- 1 e^{x}$ como $- e^{x}$ .

$x e^{x} - e^{x} + e^{x}$

Etapa 1.4.2.2

Some $- e^{x}$ e $e^{x}$ .

$x e^{x} + 0$

Etapa 1.4.2.3

Some $x e^{x}$ e $0$ .

$x e^{x}$

Etapa 1.4.3

Reordene os fatores de $x e^{x}$ .

$e^{x} x$

Etapa 1.4.4

Reordene os fatores em $e^{x} x$ .

$x e^{x}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Etapa 2.3.2

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$x e^{x} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x - 1$ e $g (x) = e^{x}$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 4.1.3

Diferencie.

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Etapa 4.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 4.1.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} (1 + 0)$

Etapa 4.1.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Etapa 4.1.3.4.2

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$(x - 1) e^{x} + e^{x}$

Etapa 4.1.4

Simplifique.

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Etapa 4.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x e^{x} - 1 e^{x} + e^{x}$

Etapa 4.1.4.2

Combine os termos.

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Etapa 4.1.4.2.1

Reescreva $- 1 e^{x}$ como $- e^{x}$ .

$x e^{x} - e^{x} + e^{x}$

Etapa 4.1.4.2.2

Some $- e^{x}$ e $e^{x}$ .

$x e^{x} + 0$

Etapa 4.1.4.2.3

Some $x e^{x}$ e $0$ .

$x e^{x}$

Etapa 4.1.4.3

Reordene os fatores de $x e^{x}$ .

$e^{x} x$

Etapa 4.1.4.4

Reordene os fatores em $e^{x} x$ .

$f' (x) = x e^{x}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x e^{x}$ .

$x e^{x}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x e^{x} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$x e^{x} = 0$

Etapa 5.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$e^{x} = 0$

Etapa 5.3

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.4

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.4.1

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $e^{x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.4.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Etapa 5.4.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 5.4.2.3

Não há uma solução para $e^{x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 5.5

A solução final são todos os valores que tornam $x e^{x} = 0$ verdadeiro.

$x = 0$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$(0) e^{0} + e^{0}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 \cdot 1 + e^{0}$

Etapa 9.1.2

Multiplique $0$ por $1$ .

$0 + e^{0}$

Etapa 9.1.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 + 1$

Etapa 9.2

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 10

$x = 0$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = ((0) - 1) \cdot e^{0}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Subtraia $1$ de $0$ .

$f (0) = - 1 \cdot e^{0}$

Etapa 11.2.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$f (0) = - 1 \cdot 1$

Etapa 11.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (0) = - 1$

Etapa 11.2.4

A resposta final é $- 1$ .

$y = - 1$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = (x - 1) e^{x}$ .

$(0, - 1)$ é um mínimo local

Etapa 13