Cálculo Exemplos

$3 x^{4} - 96 x + 7$

Etapa 1

Escreva $3 x^{4} - 96 x + 7$ como uma função.

$f (x) = 3 x^{4} - 96 x + 7$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{4} - 96 x + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{4}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $4$ por $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 96 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 96$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 96 x$ em relação a $x$ é $- 96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{3} - 96 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 x^{3} - 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 96$ por $1$ .

$12 x^{3} - 96 + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$12 x^{3} - 96 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $12 x^{3} - 96$ e $0$ .

$12 x^{3} - 96$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 x^{3} - 96$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 96]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 96)$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{3}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 96)$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $3$ por $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 96)$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $- 96$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 96$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 0$

Etapa 3.3.2

Some $36 x^{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$12 x^{3} - 96 = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{4} - 96 x + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{4}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 5.1.2.3

Multiplique $4$ por $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 96 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Como $- 96$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 96 x$ em relação a $x$ é $- 96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{3} - 96 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 x^{3} - 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $- 96$ por $1$ .

$12 x^{3} - 96 + \frac{d}{d x} [7]$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$12 x^{3} - 96 + 0$

Etapa 5.1.4.2

Some $12 x^{3} - 96$ e $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 96$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 x^{3} - 96$ .

$12 x^{3} - 96$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 x^{3} - 96 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$12 x^{3} - 96 = 0$

Etapa 6.2

Some $96$ aos dois lados da equação.

$12 x^{3} = 96$

Etapa 6.3

Subtraia $96$ dos dois lados da equação.

$12 x^{3} - 96 = 0$

Etapa 6.4

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Fatore $12$ de $12 x^{3} - 96$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1.1

Fatore $12$ de $12 x^{3}$ .

$12 (x^{3}) - 96 = 0$

Etapa 6.4.1.2

Fatore $12$ de $- 96$ .

$12 x^{3} + 12 \cdot - 8 = 0$

Etapa 6.4.1.3

Fatore $12$ de $12 x^{3} + 12 \cdot - 8$ .

$12 (x^{3} - 8) = 0$

Etapa 6.4.2

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$12 (x^{3} - 2^{3}) = 0$

Etapa 6.4.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$12 ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})) = 0$

Etapa 6.4.4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.4.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.4.1.1

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$12 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2})) = 0$

Etapa 6.4.4.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$12 ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)) = 0$

Etapa 6.4.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$12 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$

Etapa 6.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Etapa 6.6

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 6.6.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 6.7

Defina $x^{2} + 2 x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.1

Defina $x^{2} + 2 x + 4$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 2 x + 4 = 0$

Etapa 6.7.2

Resolva $x^{2} + 2 x + 4 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 6.7.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 2$ e $c = 4$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.2.3.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.2.3.1.3

Subtraia $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.2.3.1.4

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.2.3.1.7

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.2.3.1.7.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.2.3.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.2.3.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 6.7.2.3.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Etapa 6.7.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.2.4.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.2.4.1.3

Subtraia $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.2.4.1.4

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.2.4.1.7

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.2.4.1.7.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.2.4.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.2.4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.2.4.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 6.7.2.4.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Etapa 6.7.2.4.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = - 1 + i \sqrt{3}$

Etapa 6.7.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.2.5.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.2.5.1.3

Subtraia $16$ de $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.2.5.1.4

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (12)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.2.5.1.7

Reescreva $12$ como $2^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.7.2.5.1.7.1

Fatore $4$ de $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.2.5.1.7.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.2.5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.2.5.1.9

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.7.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 6.7.2.5.3

Simplifique $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm i \sqrt{3}$

Etapa 6.7.2.5.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = - 1 - i \sqrt{3}$

Etapa 6.7.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Etapa 6.8

A solução final são todos os valores que tornam $12 (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, - 1 + i \sqrt{3}, - 1 - i \sqrt{3}$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 2$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$36 {(2)}^{2}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$36 \cdot 4$

Etapa 10.2

Multiplique $36$ por $4$ .

$144$

Etapa 11

$x = 2$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 2$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = 3 {(2)}^{4} - 96 \cdot 2 + 7$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$f (2) = 3 \cdot 16 - 96 \cdot 2 + 7$

Etapa 12.2.1.2

Multiplique $3$ por $16$ .

$f (2) = 48 - 96 \cdot 2 + 7$

Etapa 12.2.1.3

Multiplique $- 96$ por $2$ .

$f (2) = 48 - 192 + 7$

Etapa 12.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1

Subtraia $192$ de $48$ .

$f (2) = - 144 + 7$

Etapa 12.2.2.2

Some $- 144$ e $7$ .

$f (2) = - 137$

Etapa 12.2.3

A resposta final é $- 137$ .

$y = - 137$

Etapa 13

Esses são os extremos locais para $f (x) = 3 x^{4} - 96 x + 7$ .

$(2, - 137)$ é um mínimo local

Etapa 14