Cálculo Exemplos

$3 x^{2} - 28 x + 63$

Etapa 1

Escreva $3 x^{2} - 28 x + 63$ como uma função.

$f (x) = 3 x^{2} - 28 x + 63$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 28 x + 63$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 28 x] + \frac{d}{d x} [63]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 28 x] + \frac{d}{d x} [63]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 28 x] + \frac{d}{d x} [63]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 28 x] + \frac{d}{d x} [63]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 28 x] + \frac{d}{d x} [63]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 28 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 28$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 28 x$ em relação a $x$ é $- 28 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 28 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [63]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x - 28 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [63]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 28$ por $1$ .

$6 x - 28 + \frac{d}{d x} [63]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $63$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $63$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 x - 28 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $6 x - 28$ e $0$ .

$6 x - 28$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x - 28$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 28]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 28)$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 28)$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 28)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 + \frac{d}{d x} (- 28)$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.3.1

Como $- 28$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 28$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 6 + 0$

Etapa 3.3.2

Some $6$ e $0$ .

$f'' (x) = 6$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$6 x - 28 = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 28 x + 63$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 28 x] + \frac{d}{d x} [63]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 28 x] + \frac{d}{d x} [63]$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 5.1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 28 x] + \frac{d}{d x} [63]$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 28 x] + \frac{d}{d x} [63]$

Etapa 5.1.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 28 x] + \frac{d}{d x} [63]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 28 x]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Como $- 28$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 28 x$ em relação a $x$ é $- 28 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 28 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [63]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x - 28 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [63]$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $- 28$ por $1$ .

$6 x - 28 + \frac{d}{d x} [63]$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 5.1.4.1

Como $63$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $63$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 x - 28 + 0$

Etapa 5.1.4.2

Some $6 x - 28$ e $0$ .

$f' (x) = 6 x - 28$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x - 28$ .

$6 x - 28$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x - 28 = 0$ .

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Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$6 x - 28 = 0$

Etapa 6.2

Some $28$ aos dois lados da equação.

$6 x = 28$

Etapa 6.3

Divida cada termo em $6 x = 28$ por $6$ e simplifique.

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Etapa 6.3.1

Divida cada termo em $6 x = 28$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{28}{6}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 6.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x}{6} = \frac{28}{6}$

Etapa 6.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{28}{6}$

Etapa 6.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.3.1

Cancele o fator comum de $28$ e $6$ .

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Etapa 6.3.3.1.1

Fatore $2$ de $28$ .

$x = \frac{2 (14)}{6}$

Etapa 6.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.3.3.1.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$x = \frac{2 \cdot 14}{2 \cdot 3}$

Etapa 6.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2 \cdot 14}{2 \cdot 3}$

Etapa 6.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{14}{3}$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{14}{3}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{14}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6$

Etapa 10

$x = \frac{14}{3}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{14}{3}$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{14}{3}$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{14}{3}$ na expressão.

$f (\frac{14}{3}) = 3 {(\frac{14}{3})}^{2} - 28 (\frac{14}{3}) + 63$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{14}{3}$ .

$f (\frac{14}{3}) = 3 (\frac{14^{2}}{3^{2}}) - 28 (\frac{14}{3}) + 63$

Etapa 11.2.1.2

Eleve $14$ à potência de $2$ .

$f (\frac{14}{3}) = 3 (\frac{196}{3^{2}}) - 28 (\frac{14}{3}) + 63$

Etapa 11.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (\frac{14}{3}) = 3 (\frac{196}{9}) - 28 (\frac{14}{3}) + 63$

Etapa 11.2.1.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 11.2.1.4.1

Fatore $3$ de $9$ .

$f (\frac{14}{3}) = 3 (\frac{196}{3 (3)}) - 28 (\frac{14}{3}) + 63$

Etapa 11.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{14}{3}) = 3 (\frac{196}{3 \cdot 3}) - 28 (\frac{14}{3}) + 63$

Etapa 11.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{14}{3}) = \frac{196}{3} - 28 (\frac{14}{3}) + 63$

Etapa 11.2.1.5

Multiplique $- 28 (\frac{14}{3})$ .

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Etapa 11.2.1.5.1

Combine $- 28$ e $\frac{14}{3}$ .

$f (\frac{14}{3}) = \frac{196}{3} + \frac{- 28 \cdot 14}{3} + 63$

Etapa 11.2.1.5.2

Multiplique $- 28$ por $14$ .

$f (\frac{14}{3}) = \frac{196}{3} + \frac{- 392}{3} + 63$

Etapa 11.2.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{14}{3}) = \frac{196}{3} - \frac{392}{3} + 63$

Etapa 11.2.2

Combine frações.

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Etapa 11.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{14}{3}) = 63 + \frac{196 - 392}{3}$

Etapa 11.2.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 11.2.2.2.1

Subtraia $392$ de $196$ .

$f (\frac{14}{3}) = 63 + \frac{- 196}{3}$

Etapa 11.2.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{14}{3}) = 63 - \frac{196}{3}$

Etapa 11.2.3

Para escrever $63$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{14}{3}) = 63 \cdot \frac{3}{3} - \frac{196}{3}$

Etapa 11.2.4

Combine $63$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{14}{3}) = \frac{63 \cdot 3}{3} - \frac{196}{3}$

Etapa 11.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{14}{3}) = \frac{63 \cdot 3 - 196}{3}$

Etapa 11.2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.6.1

Multiplique $63$ por $3$ .

$f (\frac{14}{3}) = \frac{189 - 196}{3}$

Etapa 11.2.6.2

Subtraia $196$ de $189$ .

$f (\frac{14}{3}) = \frac{- 7}{3}$

Etapa 11.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{14}{3}) = - \frac{7}{3}$

Etapa 11.2.8

A resposta final é $- \frac{7}{3}$ .

$y = - \frac{7}{3}$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = 3 x^{2} - 28 x + 63$ .

$(\frac{14}{3}, - \frac{7}{3})$ é um mínimo local

Etapa 13