Cálculo Exemplos

$190 + 8 x^{3} + x^{4}$

Etapa 1

Escreva $190 + 8 x^{3} + x^{4}$ como uma função.

$f (x) = 190 + 8 x^{3} + x^{4}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $190 + 8 x^{3} + x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [190] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [190] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.1.2

Como $190$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $190$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{3}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$0 + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $8$ .

$0 + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$0 + 24 x^{2} + 4 x^{3}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Some $0$ e $24 x^{2}$ .

$24 x^{2} + 4 x^{3}$

Etapa 2.4.2

Reordene os termos.

$4 x^{3} + 24 x^{2}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} + 24 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

Etapa 3.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2})$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24 x^{2}$ em relação a $x$ é $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 24 (2 x)$

Etapa 3.3.3

Multiplique $2$ por $24$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + 48 x$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$4 x^{3} + 24 x^{2} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1.1

Diferencie.

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Etapa 5.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $190 + 8 x^{3} + x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [190] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [190] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 5.1.1.2

Como $190$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $190$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

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Etapa 5.1.2.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{3}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$0 + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 5.1.2.3

Multiplique $3$ por $8$ .

$0 + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$0 + 24 x^{2} + 4 x^{3}$

Etapa 5.1.4

Simplifique.

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Etapa 5.1.4.1

Some $0$ e $24 x^{2}$ .

$24 x^{2} + 4 x^{3}$

Etapa 5.1.4.2

Reordene os termos.

$f' (x) = 4 x^{3} + 24 x^{2}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} + 24 x^{2}$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} + 24 x^{2} = 0$ .

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Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} + 24 x^{2} = 0$

Etapa 6.2

Fatore $4 x^{2}$ de $4 x^{3} + 24 x^{2}$ .

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Etapa 6.2.1

Fatore $4 x^{2}$ de $4 x^{3}$ .

$4 x^{2} (x) + 24 x^{2} = 0$

Etapa 6.2.2

Fatore $4 x^{2}$ de $24 x^{2}$ .

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (6) = 0$

Etapa 6.2.3

Fatore $4 x^{2}$ de $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (6)$ .

$4 x^{2} (x + 6) = 0$

Etapa 6.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 6 = 0$

Etapa 6.4

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.4.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 6.4.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 6.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 6.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 6.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 6.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.5

Defina $x + 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.5.1

Defina $x + 6$ como igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Etapa 6.5.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x = - 6$

Etapa 6.6

A solução final são todos os valores que tornam $4 x^{2} (x + 6) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 6$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, - 6$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(0)}^{2} + 48 (0)$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$12 \cdot 0 + 48 (0)$

Etapa 10.1.2

Multiplique $12$ por $0$ .

$0 + 48 (0)$

Etapa 10.1.3

Multiplique $48$ por $0$ .

$0 + 0$

Etapa 10.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 11

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 11.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 11.2

Substitua qualquer número, como $- 8$ , do intervalo $(- \infty, - 6)$ na primeira derivada $4 x^{3} + 24 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 11.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 8$ na expressão.

$f' (- 8) = 4 {(- 8)}^{3} + 24 {(- 8)}^{2}$

Etapa 11.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.2.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $3$ .

$f' (- 8) = 4 \cdot - 512 + 24 {(- 8)}^{2}$

Etapa 11.2.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 512$ .

$f' (- 8) = - 2048 + 24 {(- 8)}^{2}$

Etapa 11.2.2.1.3

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$f' (- 8) = - 2048 + 24 \cdot 64$

Etapa 11.2.2.1.4

Multiplique $24$ por $64$ .

$f' (- 8) = - 2048 + 1536$

Etapa 11.2.2.2

Some $- 2048$ e $1536$ .

$f' (- 8) = - 512$

Etapa 11.2.2.3

A resposta final é $- 512$ .

$- 512$

Etapa 11.3

Substitua qualquer número, como $- 3$ , do intervalo $(- 6, 0)$ na primeira derivada $4 x^{3} + 24 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 11.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f' (- 3) = 4 {(- 3)}^{3} + 24 {(- 3)}^{2}$

Etapa 11.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.3.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$f' (- 3) = 4 \cdot - 27 + 24 {(- 3)}^{2}$

Etapa 11.3.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 27$ .

$f' (- 3) = - 108 + 24 {(- 3)}^{2}$

Etapa 11.3.2.1.3

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f' (- 3) = - 108 + 24 \cdot 9$

Etapa 11.3.2.1.4

Multiplique $24$ por $9$ .

$f' (- 3) = - 108 + 216$

Etapa 11.3.2.2

Some $- 108$ e $216$ .

$f' (- 3) = 108$

Etapa 11.3.2.3

A resposta final é $108$ .

$108$

Etapa 11.4

Substitua qualquer número, como $2$ , do intervalo $(0, \infty)$ na primeira derivada $4 x^{3} + 24 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} + 24 {(2)}^{2}$

Etapa 11.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8 + 24 {(2)}^{2}$

Etapa 11.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $8$ .

$f' (2) = 32 + 24 {(2)}^{2}$

Etapa 11.4.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (2) = 32 + 24 \cdot 4$

Etapa 11.4.2.1.4

Multiplique $24$ por $4$ .

$f' (2) = 32 + 96$

Etapa 11.4.2.2

Some $32$ e $96$ .

$f' (2) = 128$

Etapa 11.4.2.3

A resposta final é $128$ .

$128$

Etapa 11.5

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = - 6$ , então $x = - 6$ é um mínimo local.

$x = - 6$ é um mínimo local

Etapa 11.6

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = 0$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 11.7

Esses são os extremos locais para $f (x) = 190 + 8 x^{3} + x^{4}$ .

$x = - 6$ é um mínimo local

Etapa 12