Cálculo Exemplos

$x^{5} - 11 x^{4} + 14 x^{3} - 8$

Etapa 1

Escreva $x^{5} - 11 x^{4} + 14 x^{3} - 8$ como uma função.

$f (x) = x^{5} - 11 x^{4} + 14 x^{3} - 8$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{5} - 11 x^{4} + 14 x^{3} - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 11 x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 11 x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 11 x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 11 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 11 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 11 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 x^{4} - 11 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$5 x^{4} - 11 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $4$ por $- 11$ .

$5 x^{4} - 44 x^{3} + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [14 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $14$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $14 x^{3}$ em relação a $x$ é $14 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 44 x^{3} + 14 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$5 x^{4} - 44 x^{3} + 14 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $3$ por $14$ .

$5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2} + 0$

Etapa 2.4.2

Some $5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2}$ e $0$ .

$5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 44 x^{3}] + \frac{d}{d x} [42 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 44 x^{3}) + \frac{d}{d x} (42 x^{2})$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{4}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 44 x^{3}) + \frac{d}{d x} (42 x^{2})$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 44 x^{3}) + \frac{d}{d x} (42 x^{2})$

Etapa 3.2.3

Multiplique $4$ por $5$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 44 x^{3}) + \frac{d}{d x} (42 x^{2})$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 44 x^{3}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 44$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 44 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 44 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 44 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (42 x^{2})$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 44 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (42 x^{2})$

Etapa 3.3.3

Multiplique $3$ por $- 44$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 132 x^{2} + \frac{d}{d x} (42 x^{2})$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [42 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Como $42$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $42 x^{2}$ em relação a $x$ é $42 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 132 x^{2} + 42 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 132 x^{2} + 42 (2 x)$

Etapa 3.4.3

Multiplique $2$ por $42$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 132 x^{2} + 84 x$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 11 x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 5.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 11 x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 11 x^{4}]$ .

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Etapa 5.1.2.1

Como $- 11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 11 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 11 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 x^{4} - 11 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$5 x^{4} - 11 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 5.1.2.3

Multiplique $4$ por $- 11$ .

$5 x^{4} - 44 x^{3} + \frac{d}{d x} [14 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [14 x^{3}]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Como $14$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $14 x^{3}$ em relação a $x$ é $14 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 44 x^{3} + 14 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$5 x^{4} - 44 x^{3} + 14 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $3$ por $14$ .

$5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8]$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 5.1.4.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2} + 0$

Etapa 5.1.4.2

Some $5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2}$ .

$5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2} = 0$

Etapa 6.2

Fatore $x^{2}$ de $5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Fatore $x^{2}$ de $5 x^{4}$ .

$x^{2} (5 x^{2}) - 44 x^{3} + 42 x^{2} = 0$

Etapa 6.2.2

Fatore $x^{2}$ de $- 44 x^{3}$ .

$x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} (- 44 x) + 42 x^{2} = 0$

Etapa 6.2.3

Fatore $x^{2}$ de $42 x^{2}$ .

$x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} (- 44 x) + x^{2} \cdot 42 = 0$

Etapa 6.2.4

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (5 x^{2}) + x^{2} (- 44 x)$ .

$x^{2} (5 x^{2} - 44 x) + x^{2} \cdot 42 = 0$

Etapa 6.2.5

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (5 x^{2} - 44 x) + x^{2} \cdot 42$ .

$x^{2} (5 x^{2} - 44 x + 42) = 0$

Etapa 6.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$5 x^{2} - 44 x + 42 = 0$

Etapa 6.4

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 6.4.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 6.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 6.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 6.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.5

Defina $5 x^{2} - 44 x + 42$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Defina $5 x^{2} - 44 x + 42$ como igual a $0$ .

$5 x^{2} - 44 x + 42 = 0$

Etapa 6.5.2

Resolva $5 x^{2} - 44 x + 42 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 6.5.2.2

Substitua os valores $a = 5$ , $b = - 44$ e $c = 42$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{44 \pm \sqrt{{(- 44)}^{2} - 4 \cdot (5 \cdot 42)}}{2 \cdot 5}$

Etapa 6.5.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.3.1.1

Eleve $- 44$ à potência de $2$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{1936 - 4 \cdot 5 \cdot 42}}{2 \cdot 5}$

Etapa 6.5.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 5 \cdot 42$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{1936 - 20 \cdot 42}}{2 \cdot 5}$

Etapa 6.5.2.3.1.2.2

Multiplique $- 20$ por $42$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{1936 - 840}}{2 \cdot 5}$

Etapa 6.5.2.3.1.3

Subtraia $840$ de $1936$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{1096}}{2 \cdot 5}$

Etapa 6.5.2.3.1.4

Reescreva $1096$ como $2^{2} \cdot 274$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.3.1.4.1

Fatore $4$ de $1096$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{4 (274)}}{2 \cdot 5}$

Etapa 6.5.2.3.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 274}}{2 \cdot 5}$

Etapa 6.5.2.3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{44 \pm 2 \sqrt{274}}{2 \cdot 5}$

Etapa 6.5.2.3.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$x = \frac{44 \pm 2 \sqrt{274}}{10}$

Etapa 6.5.2.3.3

Simplifique $\frac{44 \pm 2 \sqrt{274}}{10}$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{274}}{5}$

Etapa 6.5.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.4.1.1

Eleve $- 44$ à potência de $2$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{1936 - 4 \cdot 5 \cdot 42}}{2 \cdot 5}$

Etapa 6.5.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 5 \cdot 42$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{1936 - 20 \cdot 42}}{2 \cdot 5}$

Etapa 6.5.2.4.1.2.2

Multiplique $- 20$ por $42$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{1936 - 840}}{2 \cdot 5}$

Etapa 6.5.2.4.1.3

Subtraia $840$ de $1936$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{1096}}{2 \cdot 5}$

Etapa 6.5.2.4.1.4

Reescreva $1096$ como $2^{2} \cdot 274$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.4.1.4.1

Fatore $4$ de $1096$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{4 (274)}}{2 \cdot 5}$

Etapa 6.5.2.4.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 274}}{2 \cdot 5}$

Etapa 6.5.2.4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{44 \pm 2 \sqrt{274}}{2 \cdot 5}$

Etapa 6.5.2.4.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$x = \frac{44 \pm 2 \sqrt{274}}{10}$

Etapa 6.5.2.4.3

Simplifique $\frac{44 \pm 2 \sqrt{274}}{10}$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{274}}{5}$

Etapa 6.5.2.4.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{22 + \sqrt{274}}{5}$

Etapa 6.5.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.5.1.1

Eleve $- 44$ à potência de $2$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{1936 - 4 \cdot 5 \cdot 42}}{2 \cdot 5}$

Etapa 6.5.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 5 \cdot 42$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{1936 - 20 \cdot 42}}{2 \cdot 5}$

Etapa 6.5.2.5.1.2.2

Multiplique $- 20$ por $42$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{1936 - 840}}{2 \cdot 5}$

Etapa 6.5.2.5.1.3

Subtraia $840$ de $1936$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{1096}}{2 \cdot 5}$

Etapa 6.5.2.5.1.4

Reescreva $1096$ como $2^{2} \cdot 274$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.5.1.4.1

Fatore $4$ de $1096$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{4 (274)}}{2 \cdot 5}$

Etapa 6.5.2.5.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{44 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 274}}{2 \cdot 5}$

Etapa 6.5.2.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{44 \pm 2 \sqrt{274}}{2 \cdot 5}$

Etapa 6.5.2.5.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$x = \frac{44 \pm 2 \sqrt{274}}{10}$

Etapa 6.5.2.5.3

Simplifique $\frac{44 \pm 2 \sqrt{274}}{10}$ .

$x = \frac{22 \pm \sqrt{274}}{5}$

Etapa 6.5.2.5.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{22 - \sqrt{274}}{5}$

Etapa 6.5.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{22 + \sqrt{274}}{5}, \frac{22 - \sqrt{274}}{5}$

Etapa 6.6

A solução final são todos os valores que tornam $x^{2} (5 x^{2} - 44 x + 42) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{22 + \sqrt{274}}{5}, \frac{22 - \sqrt{274}}{5}$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, \frac{22 + \sqrt{274}}{5}, \frac{22 - \sqrt{274}}{5}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$20 {(0)}^{3} - 132 {(0)}^{2} + 84 (0)$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$20 \cdot 0 - 132 {(0)}^{2} + 84 (0)$

Etapa 10.1.2

Multiplique $20$ por $0$ .

$0 - 132 {(0)}^{2} + 84 (0)$

Etapa 10.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 132 \cdot 0 + 84 (0)$

Etapa 10.1.4

Multiplique $- 132$ por $0$ .

$0 + 0 + 84 (0)$

Etapa 10.1.5

Multiplique $84$ por $0$ .

$0 + 0 + 0$

Etapa 10.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 10.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 0$

Etapa 10.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 11

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 11.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{22 - \sqrt{274}}{5}) \cup (\frac{22 - \sqrt{274}}{5}, \frac{22 + \sqrt{274}}{5}) \cup (\frac{22 + \sqrt{274}}{5}, \infty)$

Etapa 11.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 11.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = 5 {(- 2)}^{4} - 44 {(- 2)}^{3} + 42 {(- 2)}^{2}$

Etapa 11.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$f' (- 2) = 5 \cdot 16 - 44 {(- 2)}^{3} + 42 {(- 2)}^{2}$

Etapa 11.2.2.1.2

Multiplique $5$ por $16$ .

$f' (- 2) = 80 - 44 {(- 2)}^{3} + 42 {(- 2)}^{2}$

Etapa 11.2.2.1.3

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f' (- 2) = 80 - 44 \cdot - 8 + 42 {(- 2)}^{2}$

Etapa 11.2.2.1.4

Multiplique $- 44$ por $- 8$ .

$f' (- 2) = 80 + 352 + 42 {(- 2)}^{2}$

Etapa 11.2.2.1.5

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f' (- 2) = 80 + 352 + 42 \cdot 4$

Etapa 11.2.2.1.6

Multiplique $42$ por $4$ .

$f' (- 2) = 80 + 352 + 168$

Etapa 11.2.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.2.1

Some $80$ e $352$ .

$f' (- 2) = 432 + 168$

Etapa 11.2.2.2.2

Some $432$ e $168$ .

$f' (- 2) = 600$

Etapa 11.2.2.3

A resposta final é $600$ .

$600$

Etapa 11.3

Substitua qualquer número, como $1$ , do intervalo $(0, \frac{22 - \sqrt{274}}{5})$ na primeira derivada $5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f' (1) = 5 {(1)}^{4} - 44 {(1)}^{3} + 42 {(1)}^{2}$

Etapa 11.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 5 \cdot 1 - 44 {(1)}^{3} + 42 {(1)}^{2}$

Etapa 11.3.2.1.2

Multiplique $5$ por $1$ .

$f' (1) = 5 - 44 {(1)}^{3} + 42 {(1)}^{2}$

Etapa 11.3.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 5 - 44 \cdot 1 + 42 {(1)}^{2}$

Etapa 11.3.2.1.4

Multiplique $- 44$ por $1$ .

$f' (1) = 5 - 44 + 42 {(1)}^{2}$

Etapa 11.3.2.1.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (1) = 5 - 44 + 42 \cdot 1$

Etapa 11.3.2.1.6

Multiplique $42$ por $1$ .

$f' (1) = 5 - 44 + 42$

Etapa 11.3.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.2.2.1

Subtraia $44$ de $5$ .

$f' (1) = - 39 + 42$

Etapa 11.3.2.2.2

Some $- 39$ e $42$ .

$f' (1) = 3$

Etapa 11.3.2.3

A resposta final é $3$ .

$3$

Etapa 11.4

Substitua qualquer número, como $4$ , do intervalo $(\frac{22 - \sqrt{274}}{5}, \frac{22 + \sqrt{274}}{5})$ na primeira derivada $5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = 5 {(4)}^{4} - 44 {(4)}^{3} + 42 {(4)}^{2}$

Etapa 11.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$f' (4) = 5 \cdot 256 - 44 {(4)}^{3} + 42 {(4)}^{2}$

Etapa 11.4.2.1.2

Multiplique $5$ por $256$ .

$f' (4) = 1280 - 44 {(4)}^{3} + 42 {(4)}^{2}$

Etapa 11.4.2.1.3

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$f' (4) = 1280 - 44 \cdot 64 + 42 {(4)}^{2}$

Etapa 11.4.2.1.4

Multiplique $- 44$ por $64$ .

$f' (4) = 1280 - 2816 + 42 {(4)}^{2}$

Etapa 11.4.2.1.5

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f' (4) = 1280 - 2816 + 42 \cdot 16$

Etapa 11.4.2.1.6

Multiplique $42$ por $16$ .

$f' (4) = 1280 - 2816 + 672$

Etapa 11.4.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.2.2.1

Subtraia $2816$ de $1280$ .

$f' (4) = - 1536 + 672$

Etapa 11.4.2.2.2

Some $- 1536$ e $672$ .

$f' (4) = - 864$

Etapa 11.4.2.3

A resposta final é $- 864$ .

$- 864$

Etapa 11.5

Substitua qualquer número, como $10$ , do intervalo $(\frac{22 + \sqrt{274}}{5}, \infty)$ na primeira derivada $5 x^{4} - 44 x^{3} + 42 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.1

Substitua a variável $x$ por $10$ na expressão.

$f' (10) = 5 {(10)}^{4} - 44 {(10)}^{3} + 42 {(10)}^{2}$

Etapa 11.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.2.1.1

Eleve $10$ à potência de $4$ .

$f' (10) = 5 \cdot 10000 - 44 {(10)}^{3} + 42 {(10)}^{2}$

Etapa 11.5.2.1.2

Multiplique $5$ por $10000$ .

$f' (10) = 50000 - 44 {(10)}^{3} + 42 {(10)}^{2}$

Etapa 11.5.2.1.3

Eleve $10$ à potência de $3$ .

$f' (10) = 50000 - 44 \cdot 1000 + 42 {(10)}^{2}$

Etapa 11.5.2.1.4

Multiplique $- 44$ por $1000$ .

$f' (10) = 50000 - 44000 + 42 {(10)}^{2}$

Etapa 11.5.2.1.5

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$f' (10) = 50000 - 44000 + 42 \cdot 100$

Etapa 11.5.2.1.6

Multiplique $42$ por $100$ .

$f' (10) = 50000 - 44000 + 4200$

Etapa 11.5.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.2.2.1

Subtraia $44000$ de $50000$ .

$f' (10) = 6000 + 4200$

Etapa 11.5.2.2.2

Some $6000$ e $4200$ .

$f' (10) = 10200$

Etapa 11.5.2.3

A resposta final é $10200$ .

$10200$

Etapa 11.6

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = 0$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 11.7

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = \frac{22 - \sqrt{274}}{5}$ , então $x = \frac{22 - \sqrt{274}}{5}$ é um máximo local.

$x = \frac{22 - \sqrt{274}}{5}$ é um máximo local

Etapa 11.8

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = \frac{22 + \sqrt{274}}{5}$ , então $x = \frac{22 + \sqrt{274}}{5}$ é um mínimo local.

$x = \frac{22 + \sqrt{274}}{5}$ é um mínimo local

Etapa 11.9

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{5} - 11 x^{4} + 14 x^{3} - 8$ .

$x = \frac{22 - \sqrt{274}}{5}$ é um máximo local

$x = \frac{22 + \sqrt{274}}{5}$ é um mínimo local

$x = \frac{22 - \sqrt{274}}{5}$ é um máximo local

$x = \frac{22 + \sqrt{274}}{5}$ é um mínimo local

Etapa 12