Cálculo Exemplos

$4 x - 64 x^{- 3}$

Etapa 1

Escreva $4 x - 64 x^{- 3}$ como uma função.

$f (x) = 4 x - 64 x^{- 3}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - 64 x^{- 3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 64 x^{- 3}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 64$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 64 x^{- 3}$ em relação a $x$ é $- 64 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$4 - 64 \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 3$ .

$4 - 64 (- 3 x^{- 4})$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 3$ por $- 64$ .

$4 + 192 x^{- 4}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reordene os termos.

$192 x^{- 4} + 4$

Etapa 2.4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.4.2.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$192 \frac{1}{x^{4}} + 4$

Etapa 2.4.2.2

Combine $192$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{192}{x^{4}} + 4$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{192}{x^{4}} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{192}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{192}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{192}{x^{4}}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $192$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{192}{x^{4}}$ em relação a $x$ é $192 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$f'' (x) = 192 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{4}}) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 3.2.2

Reescreva $\frac{1}{x^{4}}$ como ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 192 \frac{d}{d x} ({(x^{4})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4}$ .

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Etapa 3.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{4}$ .

$f'' (x) = 192 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 3.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = 192 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4}) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 3.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{4}$ .

$f'' (x) = 192 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{4}) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = 192 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 3.2.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{- 2}$ .

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Etapa 3.2.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 192 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 3.2.5.2

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 192 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 3.2.6

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 192 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 3.2.7

Multiplique $x^{- 8}$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.7.1

Mova $x^{3}$ .

$f'' (x) = 192 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 3.2.7.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 192 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 3.2.7.3

Subtraia $8$ de $3$ .

$f'' (x) = 192 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 3.2.8

Multiplique $- 4$ por $192$ .

$f'' (x) = - 768 x^{- 5} + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 3.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 768 x^{- 5} + 0$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 768 \frac{1}{x^{5}} + 0$

Etapa 3.4.2

Combine os termos.

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Etapa 3.4.2.1

Combine $- 768$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 768}{x^{5}} + 0$

Etapa 3.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{768}{x^{5}} + 0$

Etapa 3.4.2.3

Some $- \frac{768}{x^{5}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{768}{x^{5}}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{192}{x^{4}} + 4 = 0$

Etapa 5

Visto que não há um valor de $x$ que torne a primeira derivada igual a $0$ , não há extremos locais.

Nenhum extremo local

Etapa 6

Nenhum extremo local

Etapa 7