Cálculo Exemplos

$6 + 12 x^{2} - 8 x^{3}$

Etapa 1

Escreva $6 + 12 x^{2} - 8 x^{3}$ como uma função.

$f (x) = 6 + 12 x^{2} - 8 x^{3}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 + 12 x^{2} - 8 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Etapa 2.1.2

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{2}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $12$ .

$0 + 24 x + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 + 24 x - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$0 + 24 x - 8 (3 x^{2})$

Etapa 2.3.3

Multiplique $3$ por $- 8$ .

$0 + 24 x - 24 x^{2}$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Some $0$ e $24 x$ .

$24 x - 24 x^{2}$

Etapa 2.4.2

Reordene os termos.

$- 24 x^{2} + 24 x$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 24 x^{2} + 24 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x)$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $- 24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 24 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x)$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (24 x)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $2$ por $- 24$ .

$f'' (x) = - 48 x + \frac{d}{d x} (24 x)$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24 x$ em relação a $x$ é $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 48 x + 24 \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 48 x + 24 \cdot 1$

Etapa 3.3.3

Multiplique $24$ por $1$ .

$f'' (x) = - 48 x + 24$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 24 x^{2} + 24 x = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 + 12 x^{2} - 8 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Etapa 5.1.1.2

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

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Etapa 5.1.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{2}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0 + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Etapa 5.1.2.3

Multiplique $2$ por $12$ .

$0 + 24 x + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 + 24 x - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$0 + 24 x - 8 (3 x^{2})$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $3$ por $- 8$ .

$0 + 24 x - 24 x^{2}$

Etapa 5.1.4

Simplifique.

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Etapa 5.1.4.1

Some $0$ e $24 x$ .

$24 x - 24 x^{2}$

Etapa 5.1.4.2

Reordene os termos.

$f' (x) = - 24 x^{2} + 24 x$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 24 x^{2} + 24 x$ .

$- 24 x^{2} + 24 x$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 24 x^{2} + 24 x = 0$ .

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Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 24 x^{2} + 24 x = 0$

Etapa 6.2

Fatore $- 24 x$ de $- 24 x^{2} + 24 x$ .

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Etapa 6.2.1

Fatore $- 24 x$ de $- 24 x^{2}$ .

$- 24 x \cdot x + 24 x = 0$

Etapa 6.2.2

Fatore $- 24 x$ de $24 x$ .

$- 24 x \cdot x - 24 x \cdot - 1 = 0$

Etapa 6.2.3

Fatore $- 24 x$ de $- 24 x (x) - 24 x (- 1)$ .

$- 24 x (x - 1) = 0$

Etapa 6.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 6.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.5

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.5.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 6.5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 6.6

A solução final são todos os valores que tornam $- 24 x (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 1$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, 1$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 48 \cdot 0 + 24$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Multiplique $- 48$ por $0$ .

$0 + 24$

Etapa 10.2

Some $0$ e $24$ .

$24$

Etapa 11

$x = 0$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

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Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = 6 + 12 {(0)}^{2} - 8 {(0)}^{3}$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 6 + 12 \cdot 0 - 8 {(0)}^{3}$

Etapa 12.2.1.2

Multiplique $12$ por $0$ .

$f (0) = 6 + 0 - 8 {(0)}^{3}$

Etapa 12.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 6 + 0 - 8 \cdot 0$

Etapa 12.2.1.4

Multiplique $- 8$ por $0$ .

$f (0) = 6 + 0 + 0$

Etapa 12.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1

Some $6$ e $0$ .

$f (0) = 6 + 0$

Etapa 12.2.2.2

Some $6$ e $0$ .

$f (0) = 6$

Etapa 12.2.3

A resposta final é $6$ .

$y = 6$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 48 \cdot 1 + 24$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Multiplique $- 48$ por $1$ .

$- 48 + 24$

Etapa 14.2

Some $- 48$ e $24$ .

$- 24$

Etapa 15

$x = 1$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 1$ é um máximo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = 6 + 12 {(1)}^{2} - 8 {(1)}^{3}$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 6 + 12 \cdot 1 - 8 {(1)}^{3}$

Etapa 16.2.1.2

Multiplique $12$ por $1$ .

$f (1) = 6 + 12 - 8 {(1)}^{3}$

Etapa 16.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 6 + 12 - 8 \cdot 1$

Etapa 16.2.1.4

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$f (1) = 6 + 12 - 8$

Etapa 16.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.2.1

Some $6$ e $12$ .

$f (1) = 18 - 8$

Etapa 16.2.2.2

Subtraia $8$ de $18$ .

$f (1) = 10$

Etapa 16.2.3

A resposta final é $10$ .

$y = 10$

Etapa 17

Esses são os extremos locais para $f (x) = 6 + 12 x^{2} - 8 x^{3}$ .

$(0, 6)$ é um mínimo local

$(1, 10)$ é um máximo local

Etapa 18