Cálculo Exemplos

$C (x) = 375 + 0.75 x^{\frac{3}{4}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $375 + 0.75 x^{\frac{3}{4}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [375] + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [375] + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$

Etapa 1.1.2

Como $375$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $375$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $0.75$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0.75 x^{\frac{3}{4}}$ em relação a $x$ é $0.75 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$ .

$0 + 0.75 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{4}$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1})$

Etapa 1.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Etapa 1.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Etapa 1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}})$

Etapa 1.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}})$

Etapa 1.2.6.2

Subtraia $4$ de $3$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}})$

Etapa 1.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}})$

Etapa 1.2.8

Combine $\frac{3}{4}$ e $x^{- \frac{1}{4}}$ .

$0 + 0.75 \frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

Etapa 1.2.9

Combine $0.75$ e $\frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$ .

$0 + \frac{0.75 (3 x^{- \frac{1}{4}})}{4}$

Etapa 1.2.10

Multiplique $3$ por $0.75$ .

$0 + \frac{2.25 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

Etapa 1.2.11

Mova $x^{- \frac{1}{4}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Some $0$ e $\frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 1.3.2

Fatore $2.25$ de $2.25$ .

$\frac{2.25 (1)}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 1.3.3

Fatore $4$ de $4 x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{2.25 (1)}{4 (x^{\frac{1}{4}})}$

Etapa 1.3.4

Separe as frações.

$\frac{2.25}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 1.3.5

Divida $2.25$ por $4$ .

$0.5625 \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 1.3.6

Combine $0.5625$ e $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $0.5625$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$ em relação a $x$ é $0.5625 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}]$ .

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}})$

Etapa 2.2

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ como ${(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1})$

Etapa 2.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{4}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{4} \cdot - 1})$

Etapa 2.2.2.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $- 1$ .

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{4}})$

Etapa 2.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$C'' (x) = 0.5625 \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{4}})$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{1}{4}$ .

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} - 1})$

Etapa 2.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Etapa 2.5

Combine $- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Etapa 2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 4}{4}})$

Etapa 2.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 1 - 4}{4}})$

Etapa 2.7.2

Subtraia $4$ de $- 1$ .

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{\frac{- 5}{4}})$

Etapa 2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{1}{4} x^{- \frac{5}{4}})$

Etapa 2.9

Combine $x^{- \frac{5}{4}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$C'' (x) = 0.5625 (- \frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4})$

Etapa 2.10

Multiplique $- 1$ por $0.5625$ .

$C'' (x) = - 0.5625 \frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4}$

Etapa 2.11

Combine $- 0.5625$ e $\frac{x^{- \frac{5}{4}}}{4}$ .

$C'' (x) = \frac{- 0.5625 x^{- \frac{5}{4}}}{4}$

Etapa 2.12

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.12.1

Mova $x^{- \frac{5}{4}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$C'' (x) = \frac{- 0.5625}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

Etapa 2.12.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$C'' (x) = - \frac{0.5625}{4 x^{\frac{5}{4}}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $375 + 0.75 x^{\frac{3}{4}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [375] + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [375] + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$

Etapa 4.1.1.2

Como $375$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $375$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [0.75 x^{\frac{3}{4}}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $0.75$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0.75 x^{\frac{3}{4}}$ em relação a $x$ é $0.75 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$ .

$0 + 0.75 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{4}}]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{4}$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1})$

Etapa 4.1.2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}})$

Etapa 4.1.2.4

Combine $- 1$ e $\frac{4}{4}$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}})$

Etapa 4.1.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 1 \cdot 4}{4}})$

Etapa 4.1.2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.6.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{3 - 4}{4}})$

Etapa 4.1.2.6.2

Subtraia $4$ de $3$ .

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{\frac{- 1}{4}})$

Etapa 4.1.2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$0 + 0.75 (\frac{3}{4} x^{- \frac{1}{4}})$

Etapa 4.1.2.8

Combine $\frac{3}{4}$ e $x^{- \frac{1}{4}}$ .

$0 + 0.75 \frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

Etapa 4.1.2.9

Combine $0.75$ e $\frac{3 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$ .

$0 + \frac{0.75 (3 x^{- \frac{1}{4}})}{4}$

Etapa 4.1.2.10

Multiplique $3$ por $0.75$ .

$0 + \frac{2.25 x^{- \frac{1}{4}}}{4}$

Etapa 4.1.2.11

Mova $x^{- \frac{1}{4}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 4.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Some $0$ e $\frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{2.25}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 4.1.3.2

Fatore $2.25$ de $2.25$ .

$\frac{2.25 (1)}{4 x^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 4.1.3.3

Fatore $4$ de $4 x^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{2.25 (1)}{4 (x^{\frac{1}{4}})}$

Etapa 4.1.3.4

Separe as frações.

$\frac{2.25}{4} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 4.1.3.5

Divida $2.25$ por $4$ .

$0.5625 \frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 4.1.3.6

Combine $0.5625$ e $\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$f' (x) = \frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $C (x)$ com relação a $x$ é $\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{0.5625}{x^{\frac{1}{4}}} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$0.5625 = 0$

Etapa 5.3

Como $0.5625 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{0.5625}{\sqrt[4]{x^{1}}}$

Etapa 6.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{0.5625}{\sqrt[4]{x}}$

Etapa 6.2

Defina o denominador em $\frac{0.5625}{\sqrt[4]{x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt[4]{x} = 0$

Etapa 6.3

Resolva $x$ .

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Etapa 6.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve os dois lados da equação à $4$ ª potência.

${\sqrt[4]{x}}^{4} = 0^{4}$

Etapa 6.3.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 6.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{x}$ como $x^{\frac{1}{4}}$ .

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.3.2.2.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Etapa 6.3.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Etapa 6.3.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = 0^{4}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Simplifique.

$x = 0^{4}$

Etapa 6.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.4

Defina o radicando em $\sqrt[4]{x}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x < 0$

Etapa 6.5

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{0.5625}{4 {(0)}^{\frac{5}{4}}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Reescreva $0$ como $0^{4}$ .

$- \frac{0.5625}{4 {(0^{4})}^{\frac{5}{4}}}$

Etapa 9.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{0.5625}{4 \cdot 0^{4 (\frac{5}{4})}}$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{0.5625}{4 \cdot 0^{4 (\frac{5}{4})}}$

Etapa 9.2.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{0.5625}{4 \cdot 0^{5}}$

Etapa 9.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{0.5625}{4 \cdot 0}$

Etapa 9.3.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$- \frac{0.5625}{0}$

Etapa 9.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$- \frac{0.5625}{0}$

Etapa 9.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 10

Como o teste da primeira derivada falhou, não há um extremo local.

Nenhum extremo local

Etapa 11