Cálculo Exemplos

$4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 1$

Etapa 1

Escreva $4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 1$ como uma função.

$f (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 1$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$12 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} + 6 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 x^{2} + 6 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.4.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$12 x^{2} + 6 x - 6 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$12 x^{2} + 6 x - 6 + 0$

Etapa 2.5.2

Some $12 x^{2} + 6 x - 6$ e $0$ .

$12 x^{2} + 6 x - 6$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 x^{2} + 6 x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x^{2}$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $2$ por $12$ .

$f'' (x) = 24 x + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 24 x + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6)$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 24 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 6)$

Etapa 3.3.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$f'' (x) = 24 x + 6 + \frac{d}{d x} (- 6)$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 24 x + 6 + 0$

Etapa 3.4.2

Some $24 x + 6$ e $0$ .

$f'' (x) = 24 x + 6$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$12 x^{2} + 6 x - 6 = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$12 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$12 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} + 6 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 x^{2} + 6 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.4.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$12 x^{2} + 6 x - 6 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.5.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$12 x^{2} + 6 x - 6 + 0$

Etapa 5.1.5.2

Some $12 x^{2} + 6 x - 6$ e $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 x^{2} + 6 x - 6$ .

$12 x^{2} + 6 x - 6$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 x^{2} + 6 x - 6 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$12 x^{2} + 6 x - 6 = 0$

Etapa 6.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Fatore $6$ de $12 x^{2} + 6 x - 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Fatore $6$ de $12 x^{2}$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 x - 6 = 0$

Etapa 6.2.1.2

Fatore $6$ de $6 x$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (x) - 6 = 0$

Etapa 6.2.1.3

Fatore $6$ de $- 6$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (x) + 6 (- 1) = 0$

Etapa 6.2.1.4

Fatore $6$ de $6 (2 x^{2}) + 6 (x)$ .

$6 (2 x^{2} + x) + 6 (- 1) = 0$

Etapa 6.2.1.5

Fatore $6$ de $6 (2 x^{2} + x) + 6 (- 1)$ .

$6 (2 x^{2} + x - 1) = 0$

Etapa 6.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e cuja soma é $b = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1.1

Multiplique por $1$ .

$6 (2 x^{2} + 1 x - 1) = 0$

Etapa 6.2.2.1.1.2

Reescreva $1$ como $- 1$ mais $2$

$6 (2 x^{2} + (- 1 + 2) x - 1) = 0$

Etapa 6.2.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$6 (2 x^{2} - 1 x + 2 x - 1) = 0$

Etapa 6.2.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 6.2.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$6 ((2 x^{2} - 1 x) + 2 x - 1) = 0$

Etapa 6.2.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$6 (x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)) = 0$

Etapa 6.2.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 1$ .

$6 ((2 x - 1) (x + 1)) = 0$

Etapa 6.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$6 (2 x - 1) (x + 1) = 0$

Etapa 6.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 6.4

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Etapa 6.4.2

Resolva $2 x - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 6.4.2.2

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 6.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 6.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 6.5

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 6.5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 6.6

A solução final são todos os valores que tornam $6 (2 x - 1) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{2}, - 1$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{1}{2}, - 1$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{1}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$24 (\frac{1}{2}) + 6$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Fatore $2$ de $24$ .

$2 (12) \frac{1}{2} + 6$

Etapa 10.1.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 12 \frac{1}{2} + 6$

Etapa 10.1.3

Reescreva a expressão.

$12 + 6$

Etapa 10.2

Some $12$ e $6$ .

$18$

Etapa 11

$x = \frac{1}{2}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{1}{2}$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{2}$ na expressão.

$f (\frac{1}{2}) = 4 {(\frac{1}{2})}^{3} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1^{3}}{2^{3}}) + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 12.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{2^{3}}) + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 12.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{8}) + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 12.2.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.4.1

Fatore $4$ de $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{4 (2)}) + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 12.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{4 \cdot 2}) + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 12.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 12.2.1.5

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + 3 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 12.2.1.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + 3 (\frac{1}{2^{2}}) - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 12.2.1.7

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + 3 (\frac{1}{4}) - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 12.2.1.8

Combine $3$ e $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 12.2.1.9

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.9.1

Fatore $2$ de $- 6$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} + 2 (- 3) (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 12.2.1.9.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} + 2 \cdot (- 3 (\frac{1}{2})) + 1$

Etapa 12.2.1.9.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{3}{4} - 3 + 1$

Etapa 12.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{4} - 3 + 1$

Etapa 12.2.2.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} - 3 + 1$

Etapa 12.2.2.3

Escreva $- 3$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3}{1} + 1$

Etapa 12.2.2.4

Multiplique $\frac{- 3}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{4}{4} + 1$

Etapa 12.2.2.5

Multiplique $\frac{- 3}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + 1$

Etapa 12.2.2.6

Escreva $1$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1}$

Etapa 12.2.2.7

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 12.2.2.8

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{4}{4}$

Etapa 12.2.2.9

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{4} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{4}{4}$

Etapa 12.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 + 3 - 3 \cdot 4 + 4}{4}$

Etapa 12.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.4.1

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 + 3 - 12 + 4}{4}$

Etapa 12.2.4.2

Some $2$ e $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{5 - 12 + 4}{4}$

Etapa 12.2.4.3

Subtraia $12$ de $5$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 7 + 4}{4}$

Etapa 12.2.4.4

Some $- 7$ e $4$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 3}{4}$

Etapa 12.2.4.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{3}{4}$

Etapa 12.2.5

A resposta final é $- \frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{3}{4}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = - 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$24 (- 1) + 6$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Multiplique $24$ por $- 1$ .

$- 24 + 6$

Etapa 14.2

Some $- 24$ e $6$ .

$- 18$

Etapa 15

$x = - 1$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 1$ é um máximo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = 4 {(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 1$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 16.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 16.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- 1) = 4 \cdot - 1 + 3 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 1$

Etapa 16.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f (- 1) = - 4 + 3 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 1$

Etapa 16.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- 1) = - 4 + 3 \cdot 1 - 6 \cdot - 1 + 1$

Etapa 16.2.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (- 1) = - 4 + 3 - 6 \cdot - 1 + 1$

Etapa 16.2.1.5

Multiplique $- 6$ por $- 1$ .

$f (- 1) = - 4 + 3 + 6 + 1$

Etapa 16.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 16.2.2.1

Some $- 4$ e $3$ .

$f (- 1) = - 1 + 6 + 1$

Etapa 16.2.2.2

Some $- 1$ e $6$ .

$f (- 1) = 5 + 1$

Etapa 16.2.2.3

Some $5$ e $1$ .

$f (- 1) = 6$

Etapa 16.2.3

A resposta final é $6$ .

$y = 6$

Etapa 17

Esses são os extremos locais para $f (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 1$ .

$(\frac{1}{2}, - \frac{3}{4})$ é um mínimo local

$(- 1, 6)$ é um máximo local

Etapa 18