Cálculo Exemplos

$x^{2} e^{x}$

Etapa 1

Escreva $x^{2} e^{x}$ como uma função.

$f (x) = x^{2} e^{x}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Reordene os termos.

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

Etapa 2.4.2

Reordene os fatores em $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x e^{x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 \frac{d}{d x} (x e^{x})$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Etapa 3.3.5

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x})$

Etapa 3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x}) + 2 e^{x}$

Etapa 3.4.2

Some $e^{x} (2 x)$ e $2 x e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Mova $e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 2 x e^{x} + 2 e^{x}$

Etapa 3.4.2.2

Some $2 x e^{x}$ e $2 x e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

Etapa 3.4.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$

Etapa 3.4.4

Reordene os fatores em $e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 5.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Etapa 5.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.4.1

Reordene os termos.

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

Etapa 5.1.4.2

Reordene os fatores em $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$

Etapa 6.2

Fatore $x e^{x}$ de $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Fatore $x e^{x}$ de $x^{2} e^{x}$ .

$x e^{x} (x) + 2 x e^{x} = 0$

Etapa 6.2.2

Fatore $x e^{x}$ de $2 x e^{x}$ .

$x e^{x} (x) + x e^{x} (2) = 0$

Etapa 6.2.3

Fatore $x e^{x}$ de $x e^{x} (x) + x e^{x} (2)$ .

$x e^{x} (x + 2) = 0$

Etapa 6.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 6.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.5

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Etapa 6.5.2

Resolva $e^{x} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Etapa 6.5.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 6.5.2.3

Não há uma solução para $e^{x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 6.6

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 6.6.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 6.7

A solução final são todos os valores que tornam $x e^{x} (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 2$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, - 2$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

${(0)}^{2} e^{0} + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 e^{0} + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Etapa 10.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 \cdot 1 + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Etapa 10.1.3

Multiplique $0$ por $1$ .

$0 + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Etapa 10.1.4

Multiplique $4$ por $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 2 e^{0}$

Etapa 10.1.5

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 2 e^{0}$

Etapa 10.1.6

Multiplique $0$ por $1$ .

$0 + 0 + 2 e^{0}$

Etapa 10.1.7

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 + 0 + 2 \cdot 1$

Etapa 10.1.8

Multiplique $2$ por $1$ .

$0 + 0 + 2$

Etapa 10.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 2$

Etapa 10.2.2

Some $0$ e $2$ .

$2$

Etapa 11

$x = 0$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{2} e^{0}$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 e^{0}$

Etapa 12.2.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$f (0) = 0 \cdot 1$

Etapa 12.2.3

Multiplique $0$ por $1$ .

$f (0) = 0$

Etapa 12.2.4

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = - 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

${(- 2)}^{2} e^{- 2} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$4 e^{- 2} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Etapa 14.1.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{e^{2}} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Etapa 14.1.3

Combine $4$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Etapa 14.1.4

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$\frac{4}{e^{2}} - 8 e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Etapa 14.1.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - 8 \frac{1}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Etapa 14.1.6

Combine $- 8$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} + \frac{- 8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Etapa 14.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Etapa 14.1.8

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 \frac{1}{e^{2}}$

Etapa 14.1.9

Combine $2$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + \frac{2}{e^{2}}$

Etapa 14.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 - 8 + 2}{e^{2}}$

Etapa 14.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.2.1

Subtraia $8$ de $4$ .

$\frac{- 4 + 2}{e^{2}}$

Etapa 14.2.2.2

Some $- 4$ e $2$ .

$\frac{- 2}{e^{2}}$

Etapa 14.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{e^{2}}$

Etapa 15

$x = - 2$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 2$ é um máximo local

Etapa 16

Encontre o valor y quando $x = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

Etapa 16.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f (- 2) = 4 e^{- 2}$

Etapa 16.2.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 2) = 4 (\frac{1}{e^{2}})$

Etapa 16.2.3

Combine $4$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f (- 2) = \frac{4}{e^{2}}$

Etapa 16.2.4

A resposta final é $\frac{4}{e^{2}}$ .

$y = \frac{4}{e^{2}}$

Etapa 17

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{2} e^{x}$ .

$(0, 0)$ é um mínimo local

$(- 2, \frac{4}{e^{2}})$ é um máximo local

Etapa 18