Cálculo Exemplos

$x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$

Etapa 1

Escreva $x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ como uma função.

$f (x) = x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 x^{3} - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $- 12$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $48 x^{2}$ em relação a $x$ é $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $48$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 64$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 64 x$ em relação a $x$ é $- 64 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \cdot 1$

Etapa 2.4.3

Multiplique $- 64$ por $1$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}] + \frac{d}{d x} [96 x] + \frac{d}{d x} [- 64]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2}) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 36 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 (2 x) + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Etapa 3.3.3

Multiplique $2$ por $- 36$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + \frac{d}{d x} (96 x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [96 x]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $96$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $96 x$ em relação a $x$ é $96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 64)$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 64)$

Etapa 3.4.3

Multiplique $96$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 + \frac{d}{d x} (- 64)$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.5.1

Como $- 64$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 64$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96 + 0$

Etapa 3.5.2

Some $12 x^{2} - 72 x + 96$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x + 96$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1.1

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Etapa 5.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Etapa 5.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

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Etapa 5.1.2.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Etapa 5.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 x^{3} - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Etapa 5.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 12$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} [48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Como $48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $48 x^{2}$ em relação a $x$ é $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $2$ por $48$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x + \frac{d}{d x} [- 64 x]$

Etapa 5.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

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Etapa 5.1.4.1

Como $- 64$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 64 x$ em relação a $x$ é $- 64 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 \cdot 1$

Etapa 5.1.4.3

Multiplique $- 64$ por $1$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$ .

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Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

Etapa 6.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 6.2.1

Fatore $4$ de $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ .

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Etapa 6.2.1.1

Fatore $4$ de $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 36 x^{2} + 96 x - 64 = 0$

Etapa 6.2.1.2

Fatore $4$ de $- 36 x^{2}$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 96 x - 64 = 0$

Etapa 6.2.1.3

Fatore $4$ de $96 x$ .

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) - 64 = 0$

Etapa 6.2.1.4

Fatore $4$ de $- 64$ .

$4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

Etapa 6.2.1.5

Fatore $4$ de $4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2})$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

Etapa 6.2.1.6

Fatore $4$ de $4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x)$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 16 = 0$

Etapa 6.2.1.7

Fatore $4$ de $4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 16$ .

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16) = 0$

Etapa 6.2.2

Fatore $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 6.2.2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Etapa 6.2.2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Etapa 6.2.2.3

Substitua $1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 6.2.2.3.1

Substitua $1$ no polinômio.

$1^{3} - 9 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 16$

Etapa 6.2.2.3.2

Eleve $1$ à potência de $3$ .

$1 - 9 \cdot 1^{2} + 24 \cdot 1 - 16$

Etapa 6.2.2.3.3

Eleve $1$ à potência de $2$ .

$1 - 9 \cdot 1 + 24 \cdot 1 - 16$

Etapa 6.2.2.3.4

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$1 - 9 + 24 \cdot 1 - 16$

Etapa 6.2.2.3.5

Subtraia $9$ de $1$ .

$- 8 + 24 \cdot 1 - 16$

Etapa 6.2.2.3.6

Multiplique $24$ por $1$ .

$- 8 + 24 - 16$

Etapa 6.2.2.3.7

Some $- 8$ e $24$ .

$16 - 16$

Etapa 6.2.2.3.8

Subtraia $16$ de $16$ .

$0$

Etapa 6.2.2.4

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16}{x - 1}$

Etapa 6.2.2.5

Divida $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ por $x - 1$ .

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Etapa 6.2.2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$16$

Etapa 6.2.2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$

Etapa 6.2.2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 6.2.2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 6.2.2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$

Etapa 6.2.2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$

Etapa 6.2.2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 8 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$

Etapa 6.2.2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$

Etapa 6.2.2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 8 x^{2} + 8 x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$

Etapa 6.2.2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$

Etapa 6.2.2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	-	$8 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$

Etapa 6.2.2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $16 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$

Etapa 6.2.2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							+	$16 x$	-	$16$

Etapa 6.2.2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $16 x - 16$ .

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							-	$16 x$	+	$16$

Etapa 6.2.2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	-	$8 x$	+	$16$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$8 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$
							+	$16 x$	-	$16$
							-	$16 x$	+	$16$
										$0$

Etapa 6.2.2.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} - 8 x + 16$

Etapa 6.2.2.6

Escreva $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 16$ como um conjunto de fatores.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 8 x + 16)) = 0$

Etapa 6.2.3

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$4 ((x - 1) (x^{2} - 8 x + 4^{2})) = 0$

Etapa 6.2.3.1.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Etapa 6.2.3.1.3

Reescreva o polinômio.

$4 ((x - 1) (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Etapa 6.2.3.1.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 4$ .

$4 ((x - 1) {(x - 4)}^{2}) = 0$

Etapa 6.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$

Etapa 6.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Etapa 6.4

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 6.4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 6.5

Defina ${(x - 4)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Defina ${(x - 4)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Etapa 6.5.2

Resolva ${(x - 4)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 6.5.2.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 6.6

A solução final são todos os valores que tornam $4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = 1, 4$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = 1, 4$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(1)}^{2} - 72 \cdot 1 + 96$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$12 \cdot 1 - 72 \cdot 1 + 96$

Etapa 10.1.2

Multiplique $12$ por $1$ .

$12 - 72 \cdot 1 + 96$

Etapa 10.1.3

Multiplique $- 72$ por $1$ .

$12 - 72 + 96$

Etapa 10.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Subtraia $72$ de $12$ .

$- 60 + 96$

Etapa 10.2.2

Some $- 60$ e $96$ .

$36$

Etapa 11

$x = 1$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 1$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = {(1)}^{4} - 12 {(1)}^{3} + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 1 - 12 {(1)}^{3} + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

Etapa 12.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 1 - 12 \cdot 1 + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

Etapa 12.2.1.3

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$f (1) = 1 - 12 + 48 {(1)}^{2} - 64 \cdot 1$

Etapa 12.2.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 1 - 12 + 48 \cdot 1 - 64 \cdot 1$

Etapa 12.2.1.5

Multiplique $48$ por $1$ .

$f (1) = 1 - 12 + 48 - 64 \cdot 1$

Etapa 12.2.1.6

Multiplique $- 64$ por $1$ .

$f (1) = 1 - 12 + 48 - 64$

Etapa 12.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.2.1

Subtraia $12$ de $1$ .

$f (1) = - 11 + 48 - 64$

Etapa 12.2.2.2

Some $- 11$ e $48$ .

$f (1) = 37 - 64$

Etapa 12.2.2.3

Subtraia $64$ de $37$ .

$f (1) = - 27$

Etapa 12.2.3

A resposta final é $- 27$ .

$y = - 27$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = 4$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(4)}^{2} - 72 \cdot 4 + 96$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$12 \cdot 16 - 72 \cdot 4 + 96$

Etapa 14.1.2

Multiplique $12$ por $16$ .

$192 - 72 \cdot 4 + 96$

Etapa 14.1.3

Multiplique $- 72$ por $4$ .

$192 - 288 + 96$

Etapa 14.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Subtraia $288$ de $192$ .

$- 96 + 96$

Etapa 14.2.2

Some $- 96$ e $96$ .

$0$

Etapa 15

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 1) \cup (1, 4) \cup (4, \infty)$

Etapa 15.2

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- \infty, 1)$ na primeira derivada $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = 4 {(0)}^{3} - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

Etapa 15.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = 4 \cdot 0 - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

Etapa 15.2.2.1.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$f' (0) = 0 - 36 {(0)}^{2} + 96 (0) - 64$

Etapa 15.2.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f' (0) = 0 - 36 \cdot 0 + 96 (0) - 64$

Etapa 15.2.2.1.4

Multiplique $- 36$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 96 (0) - 64$

Etapa 15.2.2.1.5

Multiplique $96$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 0 - 64$

Etapa 15.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 64$

Etapa 15.2.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 - 64$

Etapa 15.2.2.2.3

Subtraia $64$ de $0$ .

$f' (0) = - 64$

Etapa 15.2.2.3

A resposta final é $- 64$ .

$- 64$

Etapa 15.3

Substitua qualquer número, como $2$ , do intervalo $(1, 4)$ na primeira derivada $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.3.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = 4 {(2)}^{3} - 36 {(2)}^{2} + 96 (2) - 64$

Etapa 15.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.3.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f' (2) = 4 \cdot 8 - 36 {(2)}^{2} + 96 (2) - 64$

Etapa 15.3.2.1.2

Multiplique $4$ por $8$ .

$f' (2) = 32 - 36 {(2)}^{2} + 96 (2) - 64$

Etapa 15.3.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (2) = 32 - 36 \cdot 4 + 96 (2) - 64$

Etapa 15.3.2.1.4

Multiplique $- 36$ por $4$ .

$f' (2) = 32 - 144 + 96 (2) - 64$

Etapa 15.3.2.1.5

Multiplique $96$ por $2$ .

$f' (2) = 32 - 144 + 192 - 64$

Etapa 15.3.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.3.2.2.1

Subtraia $144$ de $32$ .

$f' (2) = - 112 + 192 - 64$

Etapa 15.3.2.2.2

Some $- 112$ e $192$ .

$f' (2) = 80 - 64$

Etapa 15.3.2.2.3

Subtraia $64$ de $80$ .

$f' (2) = 16$

Etapa 15.3.2.3

A resposta final é $16$ .

$16$

Etapa 15.4

Substitua qualquer número, como $6$ , do intervalo $(4, \infty)$ na primeira derivada $4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.4.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f' (6) = 4 {(6)}^{3} - 36 {(6)}^{2} + 96 (6) - 64$

Etapa 15.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.4.2.1.1

Eleve $6$ à potência de $3$ .

$f' (6) = 4 \cdot 216 - 36 {(6)}^{2} + 96 (6) - 64$

Etapa 15.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $216$ .

$f' (6) = 864 - 36 {(6)}^{2} + 96 (6) - 64$

Etapa 15.4.2.1.3

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f' (6) = 864 - 36 \cdot 36 + 96 (6) - 64$

Etapa 15.4.2.1.4

Multiplique $- 36$ por $36$ .

$f' (6) = 864 - 1296 + 96 (6) - 64$

Etapa 15.4.2.1.5

Multiplique $96$ por $6$ .

$f' (6) = 864 - 1296 + 576 - 64$

Etapa 15.4.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.4.2.2.1

Subtraia $1296$ de $864$ .

$f' (6) = - 432 + 576 - 64$

Etapa 15.4.2.2.2

Some $- 432$ e $576$ .

$f' (6) = 144 - 64$

Etapa 15.4.2.2.3

Subtraia $64$ de $144$ .

$f' (6) = 80$

Etapa 15.4.2.3

A resposta final é $80$ .

$80$

Etapa 15.5

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 1$ , então $x = 1$ é um mínimo local.

$x = 1$ é um mínimo local

Etapa 15.6

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = 4$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 15.7

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{4} - 12 x^{3} + 48 x^{2} - 64 x$ .

$x = 1$ é um mínimo local

Etapa 16