Cálculo Exemplos

$v (t) = 3 t \sqrt{9 - t^{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{9 - t^{2}}$ como ${(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [3 t {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.2

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 t {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [t {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (t \frac{d}{d t} [{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ e $g (t) = 9 - t^{2}$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $9 - t^{2}$ .

$3 (t (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (t (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $9 - t^{2}$ .

$3 (t (\frac{1}{2} {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$3 (t (\frac{1}{2} {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 (t (\frac{1}{2} {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 (t (\frac{1}{2} {(9 - t^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$3 (t (\frac{1}{2} {(9 - t^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$3 (t (\frac{1}{2} {(9 - t^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 8

Combine frações.

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Etapa 8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 (t (\frac{1}{2} {(9 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(9 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 (t (\frac{{(9 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 8.3

Mova ${(9 - t^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (t (\frac{1}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 8.4

Combine $\frac{1}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $t$ .

$3 (\frac{t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [9 - t^{2}] + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 - t^{2}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$3 (\frac{t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d t} [9] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 10

Como $9$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $9$ em relação a $t$ é $0$ .

$3 (\frac{t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 11

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ .

$3 (\frac{t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d t} [- t^{2}] + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 12

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t^{2}$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$3 (\frac{t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d t} [t^{2}]) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (\frac{t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 t)) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 14

Combine frações.

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Etapa 14.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$3 (\frac{t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 t) + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 14.2

Combine $- 2$ e $\frac{t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 (\frac{- 2 t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} t + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 14.3

Combine $\frac{- 2 t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $t$ .

$3 (\frac{- 2 t \cdot t}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 15

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$3 (\frac{- 2 (t^{1} t)}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 16

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$3 (\frac{- 2 (t^{1} t^{1})}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 17

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 (\frac{- 2 t^{1 + 1}}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 18

Some $1$ e $1$ .

$3 (\frac{- 2 t^{2}}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 19

Fatore $2$ de $- 2 t^{2}$ .

$3 (\frac{2 (- t^{2})}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 20

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 20.1

Fatore $2$ de $2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{2 (- t^{2})}{2 ({(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 20.2

Cancele o fator comum.

$3 (\frac{2 (- t^{2})}{2 {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 20.3

Reescreva a expressão.

$3 (\frac{- t^{2}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 21

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 (- \frac{t^{2}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 22

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 (- \frac{t^{2}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Etapa 23

Multiplique ${(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$3 (- \frac{t^{2}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 24

Para escrever ${(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$3 (- \frac{t^{2}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 25

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 \frac{- t^{2} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}} {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 26

Multiplique ${(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 26.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$3 \frac{- t^{2} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 26.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 \frac{- t^{2} + {(9 - t^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 26.3

Some $1$ e $1$ .

$3 \frac{- t^{2} + {(9 - t^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 26.4

Divida $2$ por $2$ .

$3 \frac{- t^{2} + {(9 - t^{2})}^{1}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 27

Simplifique ${(9 - t^{2})}^{1}$ .

$3 \frac{- t^{2} + 9 - t^{2}}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 28

Subtraia $t^{2}$ de $- t^{2}$ .

$3 \frac{- 2 t^{2} + 9}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 29

Combine $3$ e $\frac{- 2 t^{2} + 9}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{3 (- 2 t^{2} + 9)}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 30

Simplifique.

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Etapa 30.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{3 (- 2 t^{2}) + 3 \cdot 9}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 30.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 30.2.1

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 3 \cdot 9}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 30.2.2

Multiplique $3$ por $9$ .

$\frac{- 6 t^{2} + 27}{{(9 - t^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 30.3

Reordene os termos.

$\frac{- 6 t^{2} + 27}{{(- t^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$