Cálculo Exemplos

$y = 3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{5}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $5$ por $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$15 x^{4} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $3$ por $- 5$ .

$15 x^{4} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$15 x^{4} - 15 x^{2} + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $15 x^{4} - 15 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 15 x^{2}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $15 x^{4} - 15 x^{2}$ .

$15 x^{4} - 15 x^{2}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$15 x^{4} - 15 x^{2} = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$15 {(x^{2})}^{2} - 15 x^{2} = 0$

Etapa 2.2.2

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$15 u^{2} - 15 u = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $15 u$ de $15 u^{2} - 15 u$ .

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Etapa 2.2.3.1

Fatore $15 u$ de $15 u^{2}$ .

$15 u (u) - 15 u = 0$

Etapa 2.2.3.2

Fatore $15 u$ de $- 15 u$ .

$15 u (u) + 15 u (- 1) = 0$

Etapa 2.2.3.3

Fatore $15 u$ de $15 u (u) + 15 u (- 1)$ .

$15 u (u - 1) = 0$

Etapa 2.2.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$15 x^{2} (x^{2} - 1) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 1 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 2.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 2.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $x^{2} - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x^{2} - 1$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $x^{2} - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 1$

Etapa 2.5.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 2.5.2.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 2.5.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.5.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 2.5.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 2.5.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $15 x^{2} (x^{2} - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 1, - 1$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $3 x^{5} - 5 x^{3} + 1$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$3 {(0)}^{5} - 5 {(0)}^{3} + 1$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$3 \cdot 0 - 5 {(0)}^{3} + 1$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$0 - 5 {(0)}^{3} + 1$

Etapa 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 5 \cdot 0 + 1$

Etapa 4.1.2.1.4

Multiplique $- 5$ por $0$ .

$0 + 0 + 1$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 4.1.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 1$

Etapa 4.1.2.2.2

Some $0$ e $1$ .

$1$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $1$ por $x$ .

$3 {(1)}^{5} - 5 {(1)}^{3} + 1$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$3 \cdot 1 - 5 {(1)}^{3} + 1$

Etapa 4.2.2.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 - 5 {(1)}^{3} + 1$

Etapa 4.2.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$3 - 5 \cdot 1 + 1$

Etapa 4.2.2.1.4

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$3 - 5 + 1$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.2.2.1

Subtraia $5$ de $3$ .

$- 2 + 1$

Etapa 4.2.2.2.2

Some $- 2$ e $1$ .

$- 1$

Etapa 4.3

Avalie em $x = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$3 {(- 1)}^{5} - 5 {(- 1)}^{3} + 1$

Etapa 4.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$3 \cdot - 1 - 5 {(- 1)}^{3} + 1$

Etapa 4.3.2.1.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 - 5 {(- 1)}^{3} + 1$

Etapa 4.3.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- 3 - 5 \cdot - 1 + 1$

Etapa 4.3.2.1.4

Multiplique $- 5$ por $- 1$ .

$- 3 + 5 + 1$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Some $- 3$ e $5$ .

$2 + 1$

Etapa 4.3.2.2.2

Some $2$ e $1$ .

$3$

Etapa 4.4

Liste todos os pontos.

$(0, 1), (1, - 1), (- 1, 3)$

Etapa 5