Cálculo Exemplos

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $a x^{2} + b x + c$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$ .

$\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [a x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $a x^{2}$ em relação a $x$ é $a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$a \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$a (2 x) + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Etapa 1.1.2.3

Mova $2$ para a esquerda de $a$ .

$2 a x + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [b x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $b$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $b x$ em relação a $x$ é $b \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 a x + b \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [c]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 a x + b \cdot 1 + \frac{d}{d x} [c]$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $b$ por $1$ .

$2 a x + b + \frac{d}{d x} [c]$

Etapa 1.1.4

Como $c$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $c$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 a x + b + 0$

Etapa 1.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Some $2 a x + b$ e $0$ .

$2 a x + b$

Etapa 1.1.5.2

Reordene os termos.

$f' (x) = b + 2 a x$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $b + 2 a x$ .

$b + 2 a x$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $b + 2 a x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$b + 2 a x = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $b$ dos dois lados da equação.

$2 a x = - b$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $2 a x = - b$ por $2 a$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $2 a x = - b$ por $2 a$ .

$\frac{2 a x}{2 a} = \frac{- b}{2 a}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 a x}{2 a} = \frac{- b}{2 a}$

Etapa 2.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{a x}{a} = \frac{- b}{2 a}$

Etapa 2.3.2.2

Cancele o fator comum de $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{a x}{a} = \frac{- b}{2 a}$

Etapa 2.3.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- b}{2 a}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{b}{2 a}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $a x^{2} + b x + c$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $x = - \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $- \frac{b}{2 a}$ por $x$ .

$a {(- \frac{b}{2 a})}^{2} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{b}{2 a}$ .

$a ({(- 1)}^{2} {(\frac{b}{2 a})}^{2}) + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Etapa 4.1.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{b}{2 a}$ .

$a ({(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{{(2 a)}^{2}}) + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Etapa 4.1.2.1.1.3

Aplique a regra do produto a $2 a$ .

$a ({(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{2^{2} a^{2}}) + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Etapa 4.1.2.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

${(- 1)}^{2} a \frac{b^{2}}{2^{2} a^{2}} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Etapa 4.1.2.1.3

Cancele o fator comum de $a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.3.1

Fatore $a$ de ${(- 1)}^{2} a$ .

$a {(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{2^{2} a^{2}} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Etapa 4.1.2.1.3.2

Fatore $a$ de $2^{2} a^{2}$ .

$a {(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{a (2^{2} a)} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Etapa 4.1.2.1.3.3

Cancele o fator comum.

$a {(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{a (2^{2} a)} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Etapa 4.1.2.1.3.4

Reescreva a expressão.

${(- 1)}^{2} \frac{b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Etapa 4.1.2.1.4

Combine ${(- 1)}^{2}$ e $\frac{b^{2}}{2^{2} a}$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Etapa 4.1.2.1.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.5.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{1 b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Etapa 4.1.2.1.5.2

Multiplique $b^{2}$ por $1$ .

$\frac{b^{2}}{2^{2} a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Etapa 4.1.2.1.6

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} + b (- \frac{b}{2 a}) + c$

Etapa 4.1.2.1.7

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{b^{2}}{4 a} - b \frac{b}{2 a} + c$

Etapa 4.1.2.1.8

Multiplique $- b \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.8.1

Combine $\frac{b}{2 a}$ e $b$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b \cdot b}{2 a} + c$

Etapa 4.1.2.1.8.2

Eleve $b$ à potência de $1$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{1} b}{2 a} + c$

Etapa 4.1.2.1.8.3

Eleve $b$ à potência de $1$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{1} b^{1}}{2 a} + c$

Etapa 4.1.2.1.8.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{1 + 1}}{2 a} + c$

Etapa 4.1.2.1.8.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2}}{2 a} + c$

Etapa 4.1.2.2

Para escrever $- \frac{b^{2}}{2 a}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2}}{2 a} \cdot \frac{2}{2} + c$

Etapa 4.1.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4 a$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1

Multiplique $\frac{b^{2}}{2 a}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2} \cdot 2}{2 a \cdot 2} + c$

Etapa 4.1.2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{b^{2}}{4 a} - \frac{b^{2} \cdot 2}{4 a} + c$

Etapa 4.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{b^{2} - b^{2} \cdot 2}{4 a} + c$

Etapa 4.1.2.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.5.1.1

Fatore $b^{2}$ de $b^{2} - b^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.5.1.1.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{b^{2} \cdot 1 - b^{2} \cdot 2}{4 a} + c$

Etapa 4.1.2.5.1.1.2

Fatore $b^{2}$ de $- b^{2} \cdot 2$ .

$\frac{b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 1 \cdot 2)}{4 a} + c$

Etapa 4.1.2.5.1.1.3

Fatore $b^{2}$ de $b^{2} \cdot 1 + b^{2} (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{b^{2} (1 - 1 \cdot 2)}{4 a} + c$

Etapa 4.1.2.5.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{b^{2} (1 - 2)}{4 a} + c$

Etapa 4.1.2.5.1.3

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{b^{2} \cdot - 1}{4 a} + c$

Etapa 4.1.2.5.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $b^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot b^{2}}{4 a} + c$

Etapa 4.1.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{b^{2}}{4 a} + c$

Etapa 4.2

Liste todos os pontos.

$(- \frac{b}{2 a}, - \frac{b^{2}}{4 a} + c)$

Etapa 5