Cálculo Exemplos

$y^{2} = \frac{1}{1 - x^{2}}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{1 - x^{2}})$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Reescreva $\frac{1}{1 - x^{2}}$ como ${(1 - x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{- 1}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 1 - x^{2}$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - x^{2}$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 3.3.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 3.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 3.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(1 - x^{2})}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.3.5

Multiplique.

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Etapa 3.3.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 {(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.3.5.2

Multiplique ${(1 - x^{2})}^{- 2}$ por $1$ .

${(1 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

${(1 - x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Etapa 3.3.7

Mova $2$ para a esquerda de ${(1 - x^{2})}^{- 2}$ .

$2 \cdot {(1 - x^{2})}^{- 2} x$

Etapa 3.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{2}} x$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Combine os termos.

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Etapa 3.5.1.1

Combine $2$ e $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(1 - x^{2})}^{2}} x$

Etapa 3.5.1.2

Combine $\frac{2}{{(1 - x^{2})}^{2}}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

Etapa 3.5.2

Reordene os termos.

$\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 y y' = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

Etapa 5

Divida cada termo em $2 y y' = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$ por $2 y$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $2 y y' = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$ por $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

Etapa 5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

Etapa 5.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

Etapa 5.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}}{2 y}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y' = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{2 y}$

Etapa 5.3.2

Simplifique os termos.

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Etapa 5.3.2.1

Combine.

$y' = \frac{2 x \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 y)}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 x \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 y)}$

Etapa 5.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{x \cdot 1}{{(- x^{2} + 1)}^{2} (y)}$

Etapa 5.3.2.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$y' = \frac{x}{{(- x^{2} + 1)}^{2} y}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.3.3.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y' = \frac{x}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{2} y}$

Etapa 5.3.3.2

Reordene $- x^{2}$ e $1^{2}$ .

$y' = \frac{x}{{(1^{2} - x^{2})}^{2} y}$

Etapa 5.3.3.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$y' = \frac{x}{{((1 + x) (1 - x))}^{2} y}$

Etapa 5.3.3.4

Aplique a regra do produto a $(1 + x) (1 - x)$ .

$y' = \frac{x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} y}$

Etapa 5.3.4

Reordene os fatores em $\frac{x}{{(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2} y}$ .

$y' = \frac{x}{y {(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{y {(1 + x)}^{2} {(1 - x)}^{2}}$