Cálculo Exemplos

$x^{\frac{6}{7}} + y^{\frac{8}{5}} = 9$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{\frac{6}{7}} + y^{\frac{8}{5}}) = \frac{d}{d x} (9)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{\frac{6}{7}} + y^{\frac{8}{5}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{7}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{7}}] + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{7}}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{6}{7}$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} - 1} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

Etapa 2.2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

Etapa 2.2.3

Combine $- 1$ e $\frac{7}{7}$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

Etapa 2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{6}{7} x^{\frac{6 - 1 \cdot 7}{7}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

Etapa 2.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{6 - 7}{7}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

Etapa 2.2.5.2

Subtraia $7$ de $6$ .

$\frac{6}{7} x^{\frac{- 1}{7}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

Etapa 2.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{\frac{8}{5}}]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{8}{5}}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{8}{5}}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{8}{5}$ .

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} u^{\frac{8}{5} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{8}{5} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{8}{5} - 1} y'$

Etapa 2.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{8}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} y'$

Etapa 2.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{8}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} y'$

Etapa 2.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{8 - 1 \cdot 5}{5}} y'$

Etapa 2.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{8 - 5}{5}} y'$

Etapa 2.3.6.2

Subtraia $5$ de $8$ .

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8}{5} y^{\frac{3}{5}} y'$

Etapa 2.3.7

Combine $\frac{8}{5}$ e $y^{\frac{3}{5}}$ .

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8 y^{\frac{3}{5}}}{5} y'$

Etapa 2.3.8

Combine $\frac{8 y^{\frac{3}{5}}}{5}$ e $y'$ .

$\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}} + \frac{8 y^{\frac{3}{5}} y'}{5}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{7} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{7}}} + \frac{8 y^{\frac{3}{5}} y'}{5}$

Etapa 2.4.2

Multiplique $\frac{6}{7}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{7}}}$ .

$\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}} + \frac{8 y^{\frac{3}{5}} y'}{5}$

Etapa 3

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}} + \frac{8 y^{\frac{3}{5}} y'}{5} = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Reordene os fatores em $\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}} + \frac{8 y^{\frac{3}{5}} y'}{5}$ .

$\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}} + \frac{8 y' y^{\frac{3}{5}}}{5} = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $\frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$ dos dois lados da equação.

$\frac{8 y' y^{\frac{3}{5}}}{5} = - \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Etapa 5.3

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{5}{8}$ .

$\frac{5}{8} \cdot \frac{8 y' y^{\frac{3}{5}}}{5} = \frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$

Etapa 5.4

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 5.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.1.1

Simplifique $\frac{5}{8} \cdot \frac{8 y' y^{\frac{3}{5}}}{5}$ .

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Etapa 5.4.1.1.1

Combine.

$\frac{5 (8 y' y^{\frac{3}{5}})}{8 \cdot 5} = \frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$

Etapa 5.4.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (8 y' y^{\frac{3}{5}})}{8 \cdot 5} = \frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$

Etapa 5.4.1.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{8 y' y^{\frac{3}{5}}}{8} = \frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$

Etapa 5.4.1.1.4

Cancele o fator comum.

$\frac{8 y' y^{\frac{3}{5}}}{8} = \frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$

Etapa 5.4.1.1.5

Divida $y' y^{\frac{3}{5}}$ por $1$ .

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.2.1

Simplifique $\frac{5}{8} (- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}})$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.4.2.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$ para o numerador.

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5}{8} \cdot \frac{- 6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Etapa 5.4.2.1.1.2

Fatore $2$ de $8$ .

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5}{2 (4)} \cdot \frac{- 6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Etapa 5.4.2.1.1.3

Fatore $2$ de $- 6$ .

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5}{2 \cdot 4} \cdot \frac{2 \cdot - 3}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Etapa 5.4.2.1.1.4

Cancele o fator comum.

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5}{2 \cdot 4} \cdot \frac{2 \cdot - 3}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Etapa 5.4.2.1.1.5

Reescreva a expressão.

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5}{4} \cdot \frac{- 3}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Etapa 5.4.2.1.2

Multiplique $\frac{5}{4}$ por $\frac{- 3}{7 x^{\frac{1}{7}}}$ .

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{5 \cdot - 3}{4 (7 x^{\frac{1}{7}})}$

Etapa 5.4.2.1.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.4.2.1.3.1

Multiplique $5$ por $- 3$ .

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{- 15}{4 (7 x^{\frac{1}{7}})}$

Etapa 5.4.2.1.3.2

Multiplique $7$ por $4$ .

$y' y^{\frac{3}{5}} = \frac{- 15}{28 x^{\frac{1}{7}}}$

Etapa 5.4.2.1.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' y^{\frac{3}{5}} = - \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $y' y^{\frac{3}{5}} = - \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}$ por $y^{\frac{3}{5}}$ e simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $y' y^{\frac{3}{5}} = - \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}$ por $y^{\frac{3}{5}}$ .

$\frac{y' y^{\frac{3}{5}}}{y^{\frac{3}{5}}} = \frac{- \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}}{y^{\frac{3}{5}}}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' y^{\frac{3}{5}}}{y^{\frac{3}{5}}} = \frac{- \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}}{y^{\frac{3}{5}}}$

Etapa 5.5.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}}{y^{\frac{3}{5}}}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.5.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y' = - \frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}} \cdot \frac{1}{y^{\frac{3}{5}}}$

Etapa 5.5.3.2

Multiplique $\frac{1}{y^{\frac{3}{5}}}$ por $\frac{15}{28 x^{\frac{1}{7}}}$ .

$y' = - \frac{15}{y^{\frac{3}{5}} (28 x^{\frac{1}{7}})}$

Etapa 5.5.3.3

Mova $28$ para a esquerda de $y^{\frac{3}{5}}$ .

$y' = - \frac{15}{28 y^{\frac{3}{5}} x^{\frac{1}{7}}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{15}{28 y^{\frac{3}{5}} x^{\frac{1}{7}}}$