Cálculo Exemplos

$\log_{a} (\sqrt[4]{\frac{m^{8} n^{12}}{a^{3} b^{5}}})$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{\frac{m^{8} n^{12}}{a^{3} b^{5}}}$ como ${(\frac{m^{8} n^{12}}{a^{3} b^{5}})}^{\frac{1}{4}}$ .

$\log_{a} ({(\frac{m^{8} n^{12}}{a^{3} b^{5}})}^{\frac{1}{4}})$

Etapa 2

Expanda $\log_{a} ({(\frac{m^{8} n^{12}}{a^{3} b^{5}})}^{\frac{1}{4}})$ movendo $\frac{1}{4}$ para fora do logaritmo.

$\frac{1}{4} \log_{a} (\frac{m^{8} n^{12}}{a^{3} b^{5}})$

Etapa 3

Reescreva $\log_{a} (\frac{m^{8} n^{12}}{a^{3} b^{5}})$ como $\log_{a} (m^{8} n^{12}) - \log_{a} (a^{3} b^{5})$ .

$\frac{1}{4} (\log_{a} (m^{8} n^{12}) - \log_{a} (a^{3} b^{5}))$

Etapa 4

Reescreva $\log_{a} (m^{8} n^{12})$ como $\log_{a} (m^{8}) + \log_{a} (n^{12})$ .

$\frac{1}{4} (\log_{a} (m^{8}) + \log_{a} (n^{12}) - \log_{a} (a^{3} b^{5}))$

Etapa 5

Expanda $\log_{a} (m^{8})$ movendo $8$ para fora do logaritmo.

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m) + \log_{a} (n^{12}) - \log_{a} (a^{3} b^{5}))$

Etapa 6

Expanda $\log_{a} (n^{12})$ movendo $12$ para fora do logaritmo.

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m) + 12 \log_{a} (n) - \log_{a} (a^{3} b^{5}))$

Etapa 7

Reescreva $\log_{a} (a^{3} b^{5})$ como $\log_{a} (a^{3}) + \log_{a} (b^{5})$ .

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m) + 12 \log_{a} (n) - (\log_{a} (a^{3}) + \log_{a} (b^{5})))$

Etapa 8

Expanda $\log_{a} (a^{3})$ movendo $3$ para fora do logaritmo.

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m) + 12 \log_{a} (n) - (3 \log_{a} (a) + \log_{a} (b^{5})))$

Etapa 9

Expanda $\log_{a} (b^{5})$ movendo $5$ para fora do logaritmo.

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m) + 12 \log_{a} (n) - (3 \log_{a} (a) + 5 \log_{a} (b)))$

Etapa 10

A base do logaritmo $a$ de $a$ é $1$ .

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m) + 12 \log_{a} (n) - (3 \cdot 1 + 5 \log_{a} (b)))$

Etapa 11

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m) + 12 \log_{a} (n) - (3 + 5 \log_{a} (b)))$

Etapa 12

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m) + 12 \log_{a} (n) - 1 \cdot 3 - (5 \log_{a} (b)))$

Etapa 12.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m) + 12 \log_{a} (n) - 3 - (5 \log_{a} (b)))$

Etapa 12.3

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m) + 12 \log_{a} (n) - 3 - 5 \log_{a} (b))$

Etapa 13

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{4} (8 \log_{a} (m)) + \frac{1}{4} (12 \log_{a} (n)) + \frac{1}{4} \cdot - 3 + \frac{1}{4} (- 5 \log_{a} (b))$

Etapa 14

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Fatore $4$ de $8 \log_{a} (m)$ .

$\frac{1}{4} (4 (2 \log_{a} (m))) + \frac{1}{4} (12 \log_{a} (n)) + \frac{1}{4} \cdot - 3 + \frac{1}{4} (- 5 \log_{a} (b))$

Etapa 14.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4} (4 (2 \log_{a} (m))) + \frac{1}{4} (12 \log_{a} (n)) + \frac{1}{4} \cdot - 3 + \frac{1}{4} (- 5 \log_{a} (b))$

Etapa 14.1.3

Reescreva a expressão.

$2 \log_{a} (m) + \frac{1}{4} (12 \log_{a} (n)) + \frac{1}{4} \cdot - 3 + \frac{1}{4} (- 5 \log_{a} (b))$

Etapa 14.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Fatore $4$ de $12 \log_{a} (n)$ .

$2 \log_{a} (m) + \frac{1}{4} (4 (3 \log_{a} (n))) + \frac{1}{4} \cdot - 3 + \frac{1}{4} (- 5 \log_{a} (b))$

Etapa 14.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \log_{a} (m) + \frac{1}{4} (4 (3 \log_{a} (n))) + \frac{1}{4} \cdot - 3 + \frac{1}{4} (- 5 \log_{a} (b))$

Etapa 14.2.3

Reescreva a expressão.

$2 \log_{a} (m) + 3 \log_{a} (n) + \frac{1}{4} \cdot - 3 + \frac{1}{4} (- 5 \log_{a} (b))$

Etapa 14.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $- 3$ .

$2 \log_{a} (m) + 3 \log_{a} (n) + \frac{- 3}{4} + \frac{1}{4} (- 5 \log_{a} (b))$

Etapa 14.4

Multiplique $\frac{1}{4} (- 5 \log_{a} (b))$ .

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Etapa 14.4.1

Combine $- 5$ e $\frac{1}{4}$ .

$2 \log_{a} (m) + 3 \log_{a} (n) + \frac{- 3}{4} + \frac{- 5}{4} \log_{a} (b)$

Etapa 14.4.2

Combine $\frac{- 5}{4}$ e $\log_{a} (b)$ .

$2 \log_{a} (m) + 3 \log_{a} (n) + \frac{- 3}{4} + \frac{- 5 \log_{a} (b)}{4}$

Etapa 15

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 \log_{a} (m) + 3 \log_{a} (n) - \frac{3}{4} + \frac{- 5 \log_{a} (b)}{4}$

Etapa 15.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 \log_{a} (m) + 3 \log_{a} (n) - \frac{3}{4} - \frac{5 \log_{a} (b)}{4}$