Cálculo Exemplos

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \csc^{2} (\frac{1}{3} x)$

Etapa 1

É possível determinar a função $f (x)$ avaliando a integral indefinida da derivada $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Etapa 2

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (\frac{1}{3} x) d x$

Etapa 3

Deixe $u = \frac{1}{3} x$ . Depois, $d u = \frac{1}{3} d x$ , então, $3 d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = \frac{1}{3} x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $\frac{1}{3} x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x]$

Etapa 3.1.2

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{3} x$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Etapa 3.1.4

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3}$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (u) (1 \cdot 3) d u$

Etapa 4.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \int \csc^{2} (u) \cdot 3 d u$

Etapa 4.3

Mova $3$ para a esquerda de $\csc^{2} (u)$ .

$\frac{1}{3} \int 3 \csc^{2} (u) d u$

Etapa 5

Como $3$ é constante com relação a $u$ , mova $3$ para fora da integral.

$\frac{1}{3} (3 \int \csc^{2} (u) d u)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} \int \csc^{2} (u) d u$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{3} \int \csc^{2} (u) d u$

Etapa 6.2.2

Reescreva a expressão.

$1 \int \csc^{2} (u) d u$

Etapa 6.3

Multiplique $\int \csc^{2} (u) d u$ por $1$ .

$\int \csc^{2} (u) d u$

Etapa 7

Como a derivada de $- \cot (u)$ é $\csc^{2} (u)$ , a integral de $\csc^{2} (u)$ é $- \cot (u)$ .

$- \cot (u) + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{1}{3} x$ .

$- \cot (\frac{1}{3} x) + C$

Etapa 9

A função $f$ quando originada da integral da derivada da função. Isso é válido pelo teorema fundamental do cálculo.

$f (x) = - \cot (\frac{1}{3} x) + C$