Cálculo Exemplos

$f'' (t) = \frac{3}{\sqrt{t}}$

Etapa 1

É possível determinar a função $f' (t)$ avaliando a integral indefinida da derivada $f'' (t)$ .

$f' (t) = \int f'' (t) d t$

Etapa 2

Como $3$ é constante com relação a $t$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int \frac{1}{\sqrt{t}} d t$

Etapa 3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

Etapa 3.2

Mova $t^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$3 \int {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

Etapa 3.3

Multiplique os expoentes em ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

Etapa 3.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$3 \int t^{\frac{- 1}{2}} d t$

Etapa 3.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 \int t^{- \frac{1}{2}} d t$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $t$ é $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (2 t^{\frac{1}{2}} + C)$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Reescreva $3 (2 t^{\frac{1}{2}} + C)$ como $3 \cdot 2 t^{\frac{1}{2}} + C$ .

$3 \cdot 2 t^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 5.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 t^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 6

A função $f'$ quando originada da integral da derivada da função. Isso é válido pelo teorema fundamental do cálculo.

$f' (t) = 6 t^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 7

É possível determinar a função $f (t)$ avaliando a integral indefinida da derivada $f' (t)$ .

$f (t) = \int f' (t) d t$

Etapa 8

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 6 t^{\frac{1}{2}} d t + \int C d t$

Etapa 9

Como $6$ é constante com relação a $t$ , mova $6$ para fora da integral.

$6 \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int C d t$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $t^{\frac{1}{2}}$ com relação a $t$ é $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$6 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + \int C d t$

Etapa 11

Aplique a regra da constante.

$6 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + C t + C$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $t^{\frac{3}{2}}$ .

$6 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C) + C t + C$

Etapa 12.2

Simplifique.

$4 t^{\frac{3}{2}} + C t + C$

Etapa 13

A função $f$ quando originada da integral da derivada da função. Isso é válido pelo teorema fundamental do cálculo.

$f (t) = 4 t^{\frac{3}{2}} + C t + C$