Cálculo Exemplos

${(x + \frac{1}{x})}^{2}$

Etapa 1

Escreva ${(x + \frac{1}{x})}^{2}$ como uma função.

$f (x) = {(x + \frac{1}{x})}^{2}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int {(x + \frac{1}{x})}^{2} d x$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reescreva ${(x + \frac{1}{x})}^{2}$ como $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ .

$\int (x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x}) d x$

Etapa 4.2

Expanda $(x + \frac{1}{x}) (x + \frac{1}{x})$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int x (x + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x}) d x$

Etapa 4.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} (x + \frac{1}{x}) d x$

Etapa 4.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int x \cdot x + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\int x^{2} + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3.1.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.3.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\int x^{2} + x \frac{1}{x} + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\int x^{2} + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3.1.3

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 4.3.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\int x^{2} + 1 + \frac{1}{x} x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\int x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} d x$

Etapa 4.3.1.4

Multiplique $\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Etapa 4.3.1.4.1

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x \cdot x} d x$

Etapa 4.3.1.4.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x} d x$

Etapa 4.3.1.4.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1} x^{1}} d x$

Etapa 4.3.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{1 + 1}} d x$

Etapa 4.3.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 4.3.2

Some $1$ e $1$ .

$\int x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x^{2} d x + \int 2 d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int 2 d x + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 7

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 x + C + \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Etapa 8

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 8.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 x + C + \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 8.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 8.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 x + C + \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 8.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 x + C + \int x^{- 2} d x$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + 2 x + C - x^{- 1} + C$

Etapa 10

Simplifique.

$\frac{1}{3} x^{3} + 2 x - x^{- 1} + C$

Etapa 11

A resposta é a primitiva da função $f (x) = {(x + \frac{1}{x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x - x^{- 1} + C$