Cálculo Exemplos

$R' (x) = 4 x {(x^{2} + 27000)}^{- \frac{2}{3}}$

Etapa 1

É possível determinar a função $R (x)$ avaliando a integral indefinida da derivada $R' (x)$ .

$R (x) = \int R' (x) d x$

Etapa 2

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int x {(x^{2} + 27000)}^{- \frac{2}{3}} d x$

Etapa 3

Deixe $u = x^{2} + 27000$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = x^{2} + 27000$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $x^{2} + 27000$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 27000]$

Etapa 3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 27000$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27000]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27000]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [27000]$

Etapa 3.1.4

Como $27000$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $27000$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 3.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$4 \int u^{- \frac{2}{3}} \frac{1}{2} d u$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Combine $u^{- \frac{2}{3}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$4 \int \frac{u^{- \frac{2}{3}}}{2} d u$

Etapa 4.2

Mova $u^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \int \frac{1}{2 u^{\frac{2}{3}}} d u$

Etapa 5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u)$

Etapa 6

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.1

Simplifique.

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Etapa 6.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\frac{4}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Etapa 6.1.2

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 6.1.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Etapa 6.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.1.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Etapa 6.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Etapa 6.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{1} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Etapa 6.1.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$2 \int \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}} d u$

Etapa 6.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 6.2.1

Mova $u^{\frac{2}{3}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$2 \int {(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1} d u$

Etapa 6.2.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

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Etapa 6.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int u^{\frac{2}{3} \cdot - 1} d u$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique $\frac{2}{3} \cdot - 1$ .

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Etapa 6.2.2.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $- 1$ .

$2 \int u^{\frac{2 \cdot - 1}{3}} d u$

Etapa 6.2.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 \int u^{\frac{- 2}{3}} d u$

Etapa 6.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 \int u^{- \frac{2}{3}} d u$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- \frac{2}{3}}$ com relação a $u$ é $3 u^{\frac{1}{3}}$ .

$2 (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Reescreva $2 (3 u^{\frac{1}{3}} + C)$ como $2 \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$ .

$2 \cdot 3 u^{\frac{1}{3}} + C$

Etapa 8.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 u^{\frac{1}{3}} + C$

Etapa 9

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 27000$ .

$6 {(x^{2} + 27000)}^{\frac{1}{3}} + C$

Etapa 10

A função $R$ quando originada da integral da derivada da função. Isso é válido pelo teorema fundamental do cálculo.

$R (x) = 6 {(x^{2} + 27000)}^{\frac{1}{3}} + C$