Cálculo Exemplos

$\frac{4}{x^{2} + 2 x + 1}$

Etapa 1

Escreva $\frac{4}{x^{2} + 2 x + 1}$ como uma função.

$f (x) = \frac{4}{x^{2} + 2 x + 1}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{4}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Etapa 4

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Etapa 5

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 5.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 5.1.1

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 5.1.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} + 2 x + 1^{2}}$

Etapa 5.1.1.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Etapa 5.1.1.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{1}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Etapa 5.1.1.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 5.1.3

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$

Etapa 5.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{1 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Etapa 5.1.5

Cancele o fator comum de ${(x + 1)}^{2}$ .

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Etapa 5.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Etapa 5.1.5.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Etapa 5.1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.6.1

Cancele o fator comum de ${(x + 1)}^{2}$ .

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Etapa 5.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{A {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Etapa 5.1.6.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$1 = A + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Etapa 5.1.6.2

Cancele o fator comum de ${(x + 1)}^{2}$ e $x + 1$ .

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Etapa 5.1.6.2.1

Fatore $x + 1$ de $(B) {(x + 1)}^{2}$ .

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{x + 1}$

Etapa 5.1.6.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.1.6.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Etapa 5.1.6.2.2.2

Cancele o fator comum.

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Etapa 5.1.6.2.2.3

Reescreva a expressão.

$1 = A + \frac{B (x + 1)}{1}$

Etapa 5.1.6.2.2.4

Divida $B (x + 1)$ por $1$ .

$1 = A + B (x + 1)$

Etapa 5.1.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$1 = A + B x + B \cdot 1$

Etapa 5.1.6.4

Multiplique $B$ por $1$ .

$1 = A + B x + B$

Etapa 5.1.7

Reordene $A$ e $B x$ .

$1 = B x + A + B$

Etapa 5.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 5.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = B$

Etapa 5.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A + B$

Etapa 5.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = B$

$1 = A + B$

$0 = B$

$1 = A + B$

Etapa 5.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 5.3.1

Reescreva a equação como $B = 0$ .

$B = 0$

$1 = A + B$

Etapa 5.3.2

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $0$ em cada equação.

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Etapa 5.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $1 = A + B$ por $0$ .

$1 = A + 0$

$B = 0$

Etapa 5.3.2.2

Simplifique $1 = A + 0$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.2.1.1

Remova os parênteses.

$1 = A + 0$

$B = 0$

$1 = A + 0$

$B = 0$

Etapa 5.3.2.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.2.2.2.1

Some $A$ e $0$ .

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

Etapa 5.3.3

Reescreva a equação como $A = 1$ .

$A = 1$

$B = 0$

Etapa 5.3.4

Resolva o sistema de equações.

$A = 1 B = 0$

Etapa 5.3.5

Liste todas as soluções.

$A = 1, B = 0$

Etapa 5.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Etapa 5.5

Simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida $0$ por $x + 1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + 0$

Etapa 5.5.2

Remova o zero da expressão.

$4 \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Etapa 6

Deixe $u = x + 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u = x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 6.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 6.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 6.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$4 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Etapa 7

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 7.1

Mova $u^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$4 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Etapa 7.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 7.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Etapa 7.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$4 \int u^{- 2} d u$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 2}$ com relação a $u$ é $- u^{- 1}$ .

$4 (- u^{- 1} + C)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Reescreva $4 (- u^{- 1} + C)$ como $4 (- \frac{1}{u}) + C$ .

$4 (- \frac{1}{u}) + C$

Etapa 9.2

Simplifique.

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Etapa 9.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 4 \frac{1}{u} + C$

Etapa 9.2.2

Combine $- 4$ e $\frac{1}{u}$ .

$\frac{- 4}{u} + C$

Etapa 9.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4}{u} + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$- \frac{4}{x + 1} + C$

Etapa 11

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{4}{x^{2} + 2 x + 1}$ .

$F (x) =$ $- \frac{4}{x + 1} + C$