Cálculo Exemplos

$s' (t) = t {(t - 1)}^{2}$

Etapa 1

É possível determinar a função $s (t)$ avaliando a integral indefinida da derivada $s' (t)$ .

$s (t) = \int s' (t) d t$

Etapa 2

Deixe $u = t - 1$ . Depois, $d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = t - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $t - 1$ .

$\frac{d}{d t} [t - 1]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t - 1$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- 1]$

Etapa 2.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 1$ em relação a $t$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int (u + 1) u^{2} d u$

Etapa 3

Expanda $(u + 1) u^{2}$ .

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int u \cdot u^{2} + 1 u^{2} d u$

Etapa 3.2

Eleve $u$ à potência de $1$ .

$\int u^{1} u^{2} + 1 u^{2} d u$

Etapa 3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int u^{1 + 2} + 1 u^{2} d u$

Etapa 3.4

Some $1$ e $2$ .

$\int u^{3} + 1 u^{2} d u$

Etapa 3.5

Multiplique $u^{2}$ por $1$ .

$\int u^{3} + u^{2} d u$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int u^{3} d u + \int u^{2} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{3}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \int u^{2} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{4} u^{4} + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Etapa 7

Simplifique.

$\frac{1}{4} u^{4} + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t - 1$ .

$\frac{1}{4} {(t - 1)}^{4} + \frac{1}{3} {(t - 1)}^{3} + C$

Etapa 9

A função $s$ quando originada da integral da derivada da função. Isso é válido pelo teorema fundamental do cálculo.

$s (t) = \frac{1}{4} \cdot {(t - 1)}^{4} + \frac{1}{3} \cdot {(t - 1)}^{3} + C$