Cálculo Exemplos

$\sin^{5} (x)$

Etapa 1

Escreva $\sin^{5} (x)$ como uma função.

$f (x) = \sin^{5} (x)$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \sin^{5} (x) d x$

Etapa 4

Fatore $\sin^{4} (x)$ .

$\int \sin^{4} (x) \sin (x) d x$

Etapa 5

Simplifique com fatoração.

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Etapa 5.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\int {\sin (x)}^{2 (2)} \sin (x) d x$

Etapa 5.2

Reescreva ${\sin (x)}^{2 (2)}$ como exponenciação.

$\int {(\sin^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

Etapa 6

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\sin^{2} (x)$ como $1 - \cos^{2} (x)$ .

$\int {(1 - \cos^{2} (x))}^{2} \sin (x) d x$

Etapa 7

Deixe $u = \cos (x)$ . Depois, $d u = - \sin (x) d x$ , então, $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.1

Deixe $u = \cos (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.1.1

Diferencie $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 7.1.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Etapa 7.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int - {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int {(1 - u^{2})}^{2} d u$

Etapa 9

Expanda ${(1 - u^{2})}^{2}$ .

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Etapa 9.1

Reescreva ${(1 - u^{2})}^{2}$ como $(1 - u^{2}) (1 - u^{2})$ .

$- \int (1 - u^{2}) (1 - u^{2}) d u$

Etapa 9.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- \int 1 (1 - u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Etapa 9.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- \int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} (1 - u^{2}) d u$

Etapa 9.4

Aplique a propriedade distributiva.

$- \int 1 \cdot 1 + 1 (- u^{2}) - u^{2} \cdot 1 - u^{2} (- u^{2}) d u$

Etapa 9.5

Mova $u^{2}$ .

$- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - u^{2} (- u^{2}) d u$

Etapa 9.6

Mova $u^{2}$ .

$- \int 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Etapa 9.7

Multiplique $1$ por $1$ .

$- \int 1 + 1 \cdot - 1 u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Etapa 9.8

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \int 1 - u^{2} - 1 \cdot 1 u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Etapa 9.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} - 1 \cdot - 1 u^{2} u^{2} d u$

Etapa 9.10

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + 1 u^{2} u^{2} d u$

Etapa 9.11

Multiplique $u^{2}$ por $1$ .

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Etapa 9.12

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Etapa 9.13

Some $2$ e $2$ .

$- \int 1 - u^{2} - u^{2} + u^{4} d u$

Etapa 9.14

Subtraia $u^{2}$ de $- u^{2}$ .

$- \int 1 - 2 u^{2} + u^{4} d u$

Etapa 9.15

Reordene $- 2 u^{2}$ e $u^{4}$ .

$- \int 1 + u^{4} - 2 u^{2} d u$

Etapa 9.16

Mova $1$ .

$- \int u^{4} - 2 u^{2} + 1 d u$

Etapa 10

Divida a integral única em várias integrais.

$- (\int u^{4} d u + \int - 2 u^{2} d u + \int d u)$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{4}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C + \int - 2 u^{2} d u + \int d u)$

Etapa 12

Como $- 2$ é constante com relação a $u$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 \int u^{2} d u + \int d u)$

Etapa 13

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int d u)$

Etapa 14

Aplique a regra da constante.

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{1}{3} u^{3} + C) + u + C)$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Simplifique.

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Etapa 15.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$- (\frac{1}{5} u^{5} + C - 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C)$

Etapa 15.1.2

Combine $\frac{1}{5}$ e $u^{5}$ .

$- (\frac{u^{5}}{5} + C - 2 (\frac{u^{3}}{3} + C) + u + C)$

Etapa 15.2

Simplifique.

$- (\frac{u^{5}}{5} - \frac{2 u^{3}}{3} + u) + C$

Etapa 16

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$- (\frac{\cos^{5} (x)}{5} - \frac{2 \cos^{3} (x)}{3} + \cos (x)) + C$

Etapa 17

Reordene os termos.

$- (\frac{1}{5} \cos^{5} (x) - \frac{2}{3} \cos^{3} (x) + \cos (x)) + C$

Etapa 18

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \sin^{5} (x)$ .

$F (x) =$ $- (\frac{1}{5} \cos^{5} (x) - \frac{2}{3} \cos^{3} (x) + \cos (x)) + C$