Cálculo Exemplos

$\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

Etapa 1

Escreva $\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ como uma função.

$f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \sqrt{x} d x + \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 5

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{1}{2}} d x + \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 7

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 7.2

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Etapa 7.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 7.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Etapa 7.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Etapa 7.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 9

Simplifique.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Etapa 10

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 2 x^{\frac{1}{2}} + C$