Cálculo Exemplos

$\arctan (\frac{x}{2})$

Etapa 1

Escreva $\arctan (\frac{x}{2})$ como uma função.

$f (x) = \arctan (\frac{x}{2})$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \arctan (\frac{x}{2}) d x$

Etapa 4

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \arctan (\frac{x}{2})$ e $d v = 1$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - \int x \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Combine $x$ e $\frac{2}{x^{2} + 4}$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - \int \frac{x \cdot 2}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 5.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - \int \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 6

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\arctan (\frac{x}{2}) x - (2 \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x)$

Etapa 7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 8

Deixe $u = x^{2} + 4$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 8.1

Deixe $u = x^{2} + 4$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 8.1.1

Diferencie $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Etapa 8.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 8.1.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 8.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 8.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Etapa 9.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Etapa 10

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\arctan (\frac{x}{2}) x - 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 2$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 11.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 11.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 11.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 11.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 11.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\arctan (\frac{x}{2}) x + \frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 11.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 12

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\arctan (\frac{x}{2}) x - (\ln (| u |) + C)$

Etapa 13

Reescreva $\arctan (\frac{x}{2}) x - (\ln (| u |) + C)$ como $\arctan (\frac{1}{2} x) x - \ln (| u |) + C$ .

$\arctan (\frac{1}{2} x) x - \ln (| u |) + C$

Etapa 14

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 4$ .

$\arctan (\frac{1}{2} x) x - \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

Etapa 15

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \arctan (\frac{x}{2})$ .

$F (x) =$ $\arctan (\frac{1}{2} x) x - \ln (| x^{2} + 4 |) + C$