Cálculo Exemplos

$4 x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9}$

Etapa 1

Escreva $4 x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9}$ como uma função.

$f (x) = 4 x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int 4 x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9} d x$

Etapa 4

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9} d x$

Etapa 5

Deixe $u = 3 x^{4} + 3$ . Depois, $d u = 12 x^{3} d x$ , então, $\frac{1}{12} d u = x^{3} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = 3 x^{4} + 3$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $3 x^{4} + 3$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4} + 3]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{4} + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{4}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $4$ por $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 5.1.4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$12 x^{3} + 0$

Etapa 5.1.4.2

Some $12 x^{3}$ e $0$ .

$12 x^{3}$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$4 \int u^{9} \frac{1}{12} d u$

Etapa 6

Combine $u^{9}$ e $\frac{1}{12}$ .

$4 \int \frac{u^{9}}{12} d u$

Etapa 7

Como $\frac{1}{12}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{12}$ para fora da integral.

$4 (\frac{1}{12} \int u^{9} d u)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{12}$ e $4$ .

$\frac{4}{12} \int u^{9} d u$

Etapa 8.2

Cancele o fator comum de $4$ e $12$ .

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Etapa 8.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{4 (1)}{12} \int u^{9} d u$

Etapa 8.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.2.2.1

Fatore $4$ de $12$ .

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} \int u^{9} d u$

Etapa 8.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3} \int u^{9} d u$

Etapa 8.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} \int u^{9} d u$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{9}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{10} u^{10}$ .

$\frac{1}{3} (\frac{1}{10} u^{10} + C)$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Reescreva $\frac{1}{3} (\frac{1}{10} u^{10} + C)$ como $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{10} u^{10} + C$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{10} u^{10} + C$

Etapa 10.2

Simplifique.

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Etapa 10.2.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{10}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 10} u^{10} + C$

Etapa 10.2.2

Multiplique $3$ por $10$ .

$\frac{1}{30} u^{10} + C$

Etapa 11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x^{4} + 3$ .

$\frac{1}{30} {(3 x^{4} + 3)}^{10} + C$

Etapa 12

A resposta é a primitiva da função $f (x) = 4 x^{3} {(3 x^{4} + 3)}^{9}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{30} {(3 x^{4} + 3)}^{10} + C$