Cálculo Exemplos

$f (x) = e^{7 x} + 5 \sec^{2} (3 x)$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int e^{7 x} + 5 \sec^{2} (3 x) d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int e^{7 x} d x + \int 5 \sec^{2} (3 x) d x$

Etapa 4

Deixe $u_{1} = 7 x$ . Depois, $d u_{1} = 7 d x$ , então, $\frac{1}{7} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u_{1} = 7 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

Etapa 4.1.2

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

Etapa 4.1.4

Multiplique $7$ por $1$ .

$7$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{7} d u_{1} + \int 5 \sec^{2} (3 x) d x$

Etapa 5

Combine $e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{7}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{7} d u_{1} + \int 5 \sec^{2} (3 x) d x$

Etapa 6

Como $\frac{1}{7}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{7}$ para fora da integral.

$\frac{1}{7} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int 5 \sec^{2} (3 x) d x$

Etapa 7

A integral de $e^{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + \int 5 \sec^{2} (3 x) d x$

Etapa 8

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int \sec^{2} (3 x) d x$

Etapa 9

Deixe $u_{2} = 3 x$ . Depois, $d u_{2} = 3 d x$ , então, $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 9.1

Deixe $u_{2} = 3 x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 9.1.1

Diferencie $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 9.1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 9.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 9.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 9.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int \sec^{2} (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Etapa 10

Combine $\sec^{2} (u_{2})$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + 5 \int \frac{\sec^{2} (u_{2})}{3} d u_{2}$

Etapa 11

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + 5 (\frac{1}{3} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2})$

Etapa 12

Combine $\frac{1}{3}$ e $5$ .

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + \frac{5}{3} \int \sec^{2} (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 13

Como a derivada de $\tan (u_{2})$ é $\sec^{2} (u_{2})$ , a integral de $\sec^{2} (u_{2})$ é $\tan (u_{2})$ .

$\frac{1}{7} (e^{u_{1}} + C) + \frac{5}{3} (\tan (u_{2}) + C)$

Etapa 14

Simplifique.

$\frac{1}{7} e^{u_{1}} + \frac{5}{3} \tan (u_{2}) + C$

Etapa 15

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 15.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $7 x$ .

$\frac{1}{7} e^{7 x} + \frac{5}{3} \tan (u_{2}) + C$

Etapa 15.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 x$ .

$\frac{1}{7} e^{7 x} + \frac{5}{3} \tan (3 x) + C$

Etapa 16

A resposta é a primitiva da função $f (x) = e^{7 x} + 5 \sec^{2} (3 x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{7} e^{7 x} + \frac{5}{3} \tan (3 x) + C$